(6,0) Em cada caso, determine os 5 primeiros termos da sequência e, em seguida, deternuine so a sequência converge ou diverge:
a_{n}=\xi^{2} e^{-n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_n = \xi^2 e^{-n}
e pede (i) os cinco primeiros termos e (ii) se a sequência converge ou diverge. Este é um caso de sequência exponencial decrescente, pois e^{-n} tende a zero quando n\to\infty.

Passo 2

Para n=1,2,3,4,5 temos:
a_1 = \xi^2 e^{-1},\quad a_2 = \xi^2 e^{-2},\quad a_3 = \xi^2 e^{-3},\quad a_4 = \xi^2 e^{-4},\quad a_5 = \xi^2 e^{-5}.

Passo 3

Observando que
\lim_{n\to\infty}e^{-n}=0,
segue que
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\bigl(\xi^2 e^{-n}\bigr) =\xi^2\cdot0 =0.
Logo, a sequência converge e seu limite é zero.

Resposta

Os cinco primeiros termos são
a_1 = \xi^2 e^{-1},\quad a_2 = \xi^2 e^{-2},\quad a_3 = \xi^2 e^{-3},\quad a_4 = \xi^2 e^{-4},\quad a_5 = \xi^2 e^{-5},
e a sequência converge, com
\lim_{n\to\infty}a_n = 0.

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