Questâo 9.(2,00 pontos) Sejam J_{1}, J_{2}, \ldots, J_{n}, \ldots ideais de \mathbb{Z}. Prove que:
J_{1} \subset J_{2} \subset \cdots \subset J_{n} \subset \cdots \Rightarrow \exists m \in \mathbb{N} \text { tal que } J_{k}=J_{m} \quad \forall k \geq m .

Passo 1

O enunciado dá uma cadeia crescente de ideais de \mathbb{Z}:
J_{1}\subset J_{2}\subset\cdots\subset J_{n}\subset\cdots
e pede para provar que essa cadeia estabiliza, isto é, que existe m\in\mathbb{N} tal que
J_{k}=J_{m}\quad\forall k\ge m.
Vamos usar que \mathbb{Z} é um domínio principal (todo ideal é gerado por um único inteiro) e que não há sequência infinita estritamente decrescente de naturais.

Passo 2

Como \mathbb{Z} é principal, para cada i existe a_i\in\mathbb{Z} tal que
J_i=(a_i).
Note que o gerador é único a menos de sinal: (a_i)=(b_i) se e somente se b_i=\pm a_i.

Passo 3

Da inclusão J_i\subset J_{i+1} segue
(a_i)\subset(a_{i+1}) \quad\Longrightarrow\quad a_{i+1}\text{ divide }a_i,
isto é, existem k_{i+1}\in\mathbb{Z} com a_i=a_{i+1}k_{i+1}. Então
|a_i|=|a_{i+1}|\;\bigl|k_{i+1}\bigr|\;\ge|a_{i+1}|.
Logo a sequência \bigl(|a_i|\bigr)_{i\ge1} é não crescente em \mathbb{N}.

Passo 4

Em \mathbb{N} não há sequência estritamente decrescente infinita, portanto a sequência \bigl(|a_i|\bigr) deve estabilizar: existe m tal que
|a_k|=|a_m|\quad\forall k\ge m.

Passo 5

Para k\ge m temos |a_k|=|a_m|, daí
J_k=(a_k)=(\pm|a_k|)=(\pm|a_m|)=(a_m)=J_m.
Isso mostra que a cadeia de ideais estaciona a partir de m.

Resposta

Existe m\in\mathbb{N} tal que J_k=J_m para todo k\ge m.

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