Classifique quanto ao tipo, ordem e linearidade:
(G) -\frac{d^{3} y}{d x}+\mathrm{x} \frac{d y}{d x}-5 \mathrm{y}=e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial
- \frac{d^{3}y}{dx^{3}} \;+\; x\,\frac{dy}{dx} \;-\; 5\,y \;=\; e^{x}
quanto a seu tipo, sua ordem e sua linearidade. Para isso vamos usar os conceitos de equação diferencial ordinária versus parcial, definir a ordem pela maior derivada e checar se os termos em y aparecem somente de forma linear.

Passo 2

Tipo: observamos que a equação envolve derivadas de y apenas em relação a uma única variável independente x, sem derivadas parciais. Portanto trata-se de uma equação diferencial ordinária.

Passo 3

Ordem: o maior nível de derivada que aparece é a terceira derivada \frac{d^{3}y}{dx^{3}}. Logo, é uma equação de ordem 3.

Passo 4

Linearidade: uma equação é linear se y e suas derivadas aparecem apenas de forma linear (sem produtos entre si ou potências de y). Aqui os termos são
-\frac{d^{3}y}{dx^{3}}, x\,\frac{dy}{dx} e -5y, todos lineares em y, e o termo independente e^{x} no lado direito. Portanto é uma ED linear. Como o termo “força” e^{x} é não nulo, ela é não homogênea. Além disso, há o fator x multiplicando \frac{dy}{dx}, indicando coeficientes que dependem de x (coeficientes variáveis).

Resposta

Tipo: equação diferencial ordinária
Ordem: terceira ordem
Linearidade: linear não homogênea com coeficientes variáveis

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