Em cada caso, determine a relação entre os parâmetros a, b e c para que o sistema admita solução.
x-2 y-z & =a 2 x+y+3 z & =b 4 x-3 y+z & =c

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
x - 2y - z = a, 2x + y + 3z = b, 4x - 3y + z = c,
e pede a condição que a,b,c devem satisfazer para haver solução. Isso é um problema de consistência de sistema, ou seja, vamos ver quando a matriz de coeficientes é singular e exigir que o vetor de termos independentes caiba no espaço gerado pelas colunas.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A = 1 & -2 & -1 2 & 1 & 3 4 & -3 & 1
e calculamos o seu determinante para verificar se ela é invertível:
det(A) =1cdotdet1&3-3&1 -(-2)cdotdet2&34&1 +(-1)cdotdet2&14&-3
Calculando cada menor:
det1&3-3&1=1cdot1-3cdot(-3)=10, det2&34&1=2cdot1-3cdot4=-10, det2&14&-3=2cdot(-3)-1cdot4=-10
Logo
det(A)=1cdot10 -(-2)cdot(-10) +(-1)cdot(-10) =10 -20 +10 =0
Como det(A)=0, a matriz é singular e o sistema só terá solução se o vetor (a,b,c) satisfizer certa relação.

Passo 3

Para encontrar essa relação, buscamos coeficientes lambda1,lambda2,lambda3 (não todos zero) tais que
lambda1(x-2y-z)+lambda2(2x+y+3z)+lambda3(4x-3y+z)equiv0
para todos x,y,z. Isso leva ao sistema em lambda:
lambda1 + 2lambda2 + 4lambda3 = 0, -2lambda1 + lambda2 - 3lambda3 = 0, -,lambda1 + 3lambda2 + lambda3 = 0
Resolvendo, obtemos (por exemplo)
(lambda1,lambda2,lambda3)=(-2,,-1,,1)
até múltiplo escalar.

Passo 4

Aplicando essa combinação às equações originais, o lado esquerdo some, então o lado direito deve satisfazer
-2,a ;-;1cdot b;+;1cdot c = 0,
ou seja
c - 2a - b = 0 Long<=ftrightarrow c = 2a + b
Essa é a condição necessária e suficiente de consistência.

Resposta

A condição para o sistema ter solução é
boxedc = 2a + b

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