Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas:
Hipérbole com centro (5,2), um foco em (9,2) e eixo imaginário medindo 4 raiz2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole que tem algumas características específicas: o centro está no ponto (5,2), tem um foco em (9,2) e o eixo imaginário mede 4 raiz2. Para isso, vamos usar os conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as hipérboles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a hipérbole pode ter dois tipos de orientação: horizontal ou vertical. Olhando para os pontos dados, o centro em (5,2) e um foco em (9,2), vemos que os dois pontos têm a mesma coordenada y, então a hipérbole é horizontal.

Passo 3

Para uma hipérbole horizontal, a equação geral é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Aqui, (h,k) é o centro da hipérbole, que já sabemos ser (5,2).

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de a e b. Sabemos que o foco está a uma distância c do centro. A distância entre o centro (5,2) e o foco (9,2) é:
c = 9 - 5 = 4
Então, c = 4.

Passo 5

Além disso, o eixo imaginário da hipérbole é dado por 2b, e no enunciado diz que ele mede 4 raiz2. Então:
2b = 4 raiz2 Rightarrow b = 2 raiz2

Passo 6

Sabemos que, para hipérboles, a relação entre a, b e c é:
c^2 = a^2 + b^2
Substituindo os valores que temos:
4^2 = a^2 + (2raiz2)^2 16 = a^2 + 8 Rightarrow a^2 = 16 - 8 a^2 = 8

Passo 7

Agora que temos a^2 e b^2, podemos substituir na equação geral da hipérbole:
(x - 5)^28 - (y - 2)^28 = 1

Resposta

A equação da hipérbole é:
(x - 5)^28 - (y - 2)^28 = 1

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