Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas:
Hipérbole com centro
, um foco em
e eixo imaginário medindo
.
Hipérbole com centro
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole que tem algumas características específicas: o centro está no ponto
, tem um foco em
e o eixo imaginário mede
. Para isso, vamos usar os conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as hipérboles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a hipérbole pode ter dois tipos de orientação: horizontal ou vertical. Olhando para os pontos dados, o centro em
e um foco em
, vemos que os dois pontos têm a mesma coordenada y, então a hipérbole é horizontal.
Passo 3
Para uma hipérbole horizontal, a equação geral é:
Aqui,
é o centro da hipérbole, que já sabemos ser
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores de
e
. Sabemos que o foco está a uma distância
do centro. A distância entre o centro
e o foco
é:
Então,
.
Passo 5
Além disso, o eixo imaginário da hipérbole é dado por
, e no enunciado diz que ele mede
. Então:
Passo 6
Sabemos que, para hipérboles, a relação entre
,
e
é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos substituir na equação geral da hipérbole:
Resposta
A equação da hipérbole é: