Este é um problema conhecido como cento de aves criado por um sábio chinês do século VIa. C.
Se um galo vale 5 moedas, uma galinha vale 3 moedas e 3 frangos valem 1 moeda, quantos de cada um se pode comprar com 100 moedas, de modo que sejam 100 aves ao todo e pelo menos 4 galos?

Passo 1

O enunciado pede que compremos galos, galinhas e frangos de modo que tenhamos 100 aves ao todo, gastando 100 moedas, sendo que cada galo vale 5 moedas, cada galinha vale 3 moedas e 3 frangos valem 1 moeda. Além disso, precisamos de pelo menos 4 galos. O conteúdo aqui é a resolução de um sistema diofantino linear com restrições inteiras.

Passo 2

Definimos as variáveis:
x = número de galos (com x>=4),
y = número de galinhas,
z = número de frangos.
As condições viram o sistema
x + y + z = 100, 5x + 3y + tfrac13,z = 100, x>=4, x,y,zinZ>=0

Passo 3

Para eliminar a fração, multiplica-se a segunda equação por 3, obtendo
15x + 9y + z = 300

Passo 4

Agora subtraímos a primeira equação ( x+y+z=100 ) da equação acima:
(15x+9y+z) - (x+y+z) = 300 - 100 Longrightarrow 14x + 8y = 200
Dividindo por 2, vem
7x + 4y = 100

Passo 5

Resolvemos 7x+4y=100 em inteiros com x>=4 e y>=0.
Escrevendo y = 100 - 7x4, demandamos 100 - 7xequiv0pmod4. Como 100equiv0pmod4, isso dá
7xequiv0pmod4Longrightarrow 3xequiv0pmod4Longrightarrow xequiv0pmod4
Logo x=4k. Substituindo em y=25-7k e exigindo y>=0, temos 25-7k>=0Rightarrow k<=3. E como x>=4, k>=1. Assim k=1,2,3.

Passo 6

Para cada k:
  • k=1: x=4, y=25-7=18, z=100-4-18=78.
  • k=2: x=8, y=25-14=11, z=100-8-11=81.
  • k=3: x=12, y=25-21=4, z=100-12-4=84.
    Em cada caso conferimos o custo:
5x + 3y + tfrac13,z =5x+3y+z3=100,
o que fecha corretamente.

Resposta

As soluções inteiras com pelo menos 4 galos são:
( 1) 4 galos, 18 galinhas e 78 frangos
( 2) 8 galos, 11 galinhas e 81 frangos
( 3) 12 galos, 4 galinhas e 84 frangos

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