Este é um problema conhecido como cento de aves criado por um sábio chinês do século VIa. C.
Se um galo vale 5 moedas, uma galinha vale 3 moedas e 3 frangos valem 1 moeda, quantos de cada um se pode comprar com 100 moedas, de modo que sejam 100 aves ao todo e pelo menos 4 galos?
Passo 1
O enunciado pede que compremos galos, galinhas e frangos de modo que tenhamos aves ao todo, gastando moedas, sendo que cada galo vale moedas, cada galinha vale moedas e frangos valem moeda. Além disso, precisamos de pelo menos galos. O conteúdo aqui é a resolução de um sistema diofantino linear com restrições inteiras.
Passo 2
Definimos as variáveis: número de galos (com ), número de galinhas, número de frangos.
As condições viram o sistema
Passo 3
Para eliminar a fração, multiplica-se a segunda equação por 3, obtendo
15x + 9y + z = 300
Passo 4
Agora subtraímos a primeira equação ( x+y+z=100 ) da equação acima:
Logo x=4k. Substituindo em y=25-7k e exigindo y>=0, temos 25-7k>=0Rightarrow k<=3. E como x>=4, k>=1. Assim k=1,2,3.
Passo 6
Para cada k:
k=1: x=4, y=25-7=18, z=100-4-18=78.
k=2: x=8, y=25-14=11, z=100-8-11=81.
k=3: x=12, y=25-21=4, z=100-12-4=84.
Em cada caso conferimos o custo:
5x + 3y + tfrac13,z =5x+3y+z3=100,
o que fecha corretamente.
Resposta
As soluções inteiras com pelo menos 4 galos são:
(1) 4 galos, 18 galinhas e 78 frangos
(2) 8 galos, 11 galinhas e 81 frangos
(3) 12 galos, 4 galinhas e 84 frangos