Quais dos subconjuntos abaixo de P4(R) são linearmente independentes:
x^4+x-1, x^3-x+1, x^2-1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
,x^4+x-1,;x^3-x+1,;x^2-1
é linearmente independente em P4(R).
Para isso, usamos a definição: o conjunto é linearmente independente se, da combinação linear nula
c1(x^4+x-1)+c2(x^3-x+1)+c3(x^2-1)=0
seguem-se c1=c2=c3=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação geral e expandimos:
c1(x^4+x-1)+c2(x^3-x+1)+c3(x^2-1) = c1x^4 + c2x^3 + c3x^2 + (c1-c2)x +(-c1+c2-c3)

Passo 3

Como isso deve ser o polinômio nulo, todos os coeficientes devem ser zero. Igualando termo a termo:
coeficiente de x^4:& c1=0, coeficiente de x^3:& c2=0, coeficiente de x^2:& c3=0, coeficiente de x^1:& c1-c2=0, termo constante:& -c1+c2-c3=0

Passo 4

Das três primeiras equações já vem c1=0, c2=0, c3=0. As duas últimas são redundantes.
Logo, a única solução é
c1=c2=c3=0,
mostrando que não há combinação linear não trivial que anule o polinômio.

Resposta

O conjunto ,x^4+x-1,;x^3-x+1,;x^2-1 é linearmente independente.

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