Em cada caso, determine a relação entre os parâmetros a, b e c para que o sistema admita solução.
cccccx+ & 2 y+ & 3 z- & 3 w & =a 2 x- & 5 y- & 3 z+ & 12 w & =b 7 x+ & y+ & 8 z+ & 5 w & =c

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações em quatro incógnitas (x,y,z,w) com termos independentes a,b,c. Como há mais incógnitas que equações, em princípio podemos ter soluções livres, mas para que o sistema seja consistente precisamos que o vetor de constantes (a,b,c) pertença ao espaço gerado pelas colunas da matriz dos coeficientes. Equivalente: o posto da matriz ampliada deve ser igual ao posto da matriz de coeficientes.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes e buscamos uma combinação linear entre as três linhas que resulte na linha zero:
R1=(1,,2,,3,,-3), R2=(2,,-5,,-3,,12), R3=(7,,1,,8,,5)
Procuramos alpha,beta,gamma tais que
alpha R1+beta R2+gamma R3=(0,0,0,0)
Isso gera o sistema homogêneo em alpha,beta,gamma:
alpha+2beta+7gamma=0, 2alpha-5beta+gamma=0, 3alpha-3beta+8gamma=0, -3alpha+12beta+5gamma=0

Passo 3

Das duas primeiras equações obtemos
beta = -tfrac139gamma e alpha = -tfrac379gamma. Verificando nas outras duas, elas são satisfeitas automaticamente, mostrando que existe dependência não-trivial. Escolhendo gamma=9 para eliminar frações, temos
alpha=-37, beta=-13, gamma=9,
ou seja
-37,R1 ;-;13,R2;+;9,R3=(0,0,0,0)

Passo 4

Para que o sistema seja consistente, a mesma combinação deve anular os termos independentes:
-37,a;-;13,b;+;9,c=0
Reorganizando,
37,a+13,b-9,c=0,
ou equivalentemente
9,c=37,a+13,b

Resposta

A condição para existência de solução é
37,a+13,b-9,c=0,
ou ainda ,9c=37a+13b.

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