Em cada caso, determine e represente geometricamente o domínio da função
f(x, y)=\frac{x y}{x^{2}+y^{2}-25}

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{x\,y}{x^{2}+y^{2}-25},
ou seja, o conjunto de todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^2 em que a expressão está bem definida. Vamos usar o conceito de domínio em funções de duas variáveis e identificar a curva onde o denominador se anula.

Passo 2

O único problema de definição ocorre quando o denominador é zero. Logo, impomos
x^{2}+y^{2}-25\neq0
ou seja
x^{2}+y^{2}\neq25.

Passo 3

Portanto o domínio é o conjunto de todos os pontos cujo raio ao quadrado seja diferente de 25. Em forma de união de regiões abertas, temos
D=\bigl\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}<25\bigr\}\;\cup\;\bigl\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}>25\bigr\}.

Passo 4

Geometricamente, D é o plano \mathbb{R}^2 sem a circunferência de raio 5 centrada na origem. Isto é, desenha-se o círculo de raio 5 (fronteira), mas sem preencher nem interior nem exterior daquele traço.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^{2}+y^{2}\neq25\}=\{x^{2}+y^{2}<25\}\cup\{x^{2}+y^{2}>25\}.

Exercícios relacionados