Determine a solução das equações diferenciais abaixo:
y^{\prime}=1 / x(x-y)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = \frac{1}{x}\,(x - y).
Esse tipo de equação é linear na função y. Vamos reescrevê-la na forma padrão
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)
e usar o método do fator integrante.

Passo 2

Começamos reescrevendo a equação:
y' = \frac{x - y}{x}
ou seja
\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{y}{x}.
Passando o termo envolvendo y para o lado esquerdo, obtemos
\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}\,y = 1.
Aqui P(x)=1/x e Q(x)=1.

Passo 3

O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int \frac{1}{x}\,dx\Bigr) = \exp(\ln|x|) = |x|.
Para simplicidade podemos considerar x>0 e usar \mu(x)=x.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(x)=x, temos
x\frac{dy}{dx} + y = x.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x\,y:
\frac{d}{dx}(x\,y) = x.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}(x\,y)\,dx = \int x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,y = \frac{x^2}{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Basta isolar y:
y = \frac{x^2/2 + C}{x} = \frac{x^2}{2x} + \frac{C}{x} = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x},
com C constante arbitrária.

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