Em cada caso, determine e represente geometricamente o domínio da função
f(x, y)=\sqrt{(x-4)^{2}+(y-9)^{2}-16}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\sqrt{(x-4)^{2}+(y-9)^{2}-16}
e pede o domínio. Aqui o conteúdo é determinação de domínio de função de duas variáveis com radiciação e precisamos garantir que o radicando seja não negativo para f estar bem definida.

Passo 2

Para que a raiz quadrada exista em \mathbb{R}, o radicando deve satisfazer
(x-4)^{2}+(y-9)^{2}-16 \;\ge\;0.

Passo 3

Somando 16 em ambos os lados da desigualdade, obtemos
(x-4)^{2}+(y-9)^{2}\;\ge\;16.
Esse é justamente o conjunto de pontos cuja distância ao centro (4,9) é maior ou igual a 4, pois a equação
(x-4)^{2}+(y-9)^{2}=4^{2}
é a circunferência de raio 4 centrada em (4,9).

Passo 4

Logo, o domínio D de f é o conjunto de todos os pontos (x,y) que estão sobre ou fora dessa circunferência. Geometricamente, é a região exterior (incluindo a fronteira) da circunferência de centro (4,9) e raio 4.

Resposta

O domínio é
D = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid (x-4)^{2}+(y-9)^{2}\ge16\bigr\},
isto é, o exterior (mais a borda) da circunferência de centro (4,9) e raio 4.

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