Determine a solução das equações diferenciais abaixo:
y^{\prime}=\left(y^{2}+y\right) /\left(x^{2}+x\right)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y' = \frac{y^{2} + y}{x^{2} + x}.
O método a usar é o de equação separável: vamos isolar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro, e então integrar.

Passo 2

Separamos variáveis escrevendo
\frac{dy}{y(y+1)} = \frac{dx}{x(x+1)}.

Passo 3

Para integrar, fazemos frações parciais em cada lado:
\frac{1}{y(y+1)} = \frac{1}{y} \;-\;\frac{1}{y+1}, \qquad \frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} \;-\;\frac{1}{x+1}.

Passo 4

Agora integramos cada lado:
\int\!\Bigl(\frac{1}{y} - \frac{1}{y+1}\Bigr)dy \;=\; \int\!\Bigl(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}\Bigr)dx.
Isso dá
\ln|y| - \ln|y+1| \;=\; \ln|x| - \ln|x+1| + C.

Passo 5

Reagrupando logaritmos:
\ln\Bigl|\frac{y}{y+1}\Bigr| = \ln\Bigl|\frac{x}{x+1}\Bigr| + C.
Exponenciando, introduzimos K = e^{C} e obtemos a forma implícita
\frac{y}{y+1} = K \,\frac{x}{x+1}.

Passo 6

Por fim, isolamos y. Multiplicando em cruz e coletando y:
y(x+1) = K\,x\,(y+1) \quad\Longrightarrow\quad y\bigl(x+1 - Kx\bigr) = Kx \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{Kx}{(1-K)\,x + 1}.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
\frac{y}{y+1} = C\,\frac{x}{x+1},
ou explicitamente por
y = \frac{C\,x}{(1 - C)\,x + 1},
onde C é a constante arbitrária de integração.

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