Dado o campo magnético \mathbf{B}(\mathrm{t})=\mathrm{B}_{0} sen (\omega t-\beta z) \mathbf{j} que se propaga no vácuo, calcule o campo \mathbf{E}(\mathrm{t}) usando a equação de Maxwell conveniente no regime harmônico. Resposta: \mathbf{E}(\mathrm{t})=\left(\mathrm{B}_{0} \beta / \mu_{0} \omega \varepsilon_{0}\right) sen (\omega t-\beta z) i.

Passo 1

O enunciado nos dá um campo magnético de onda plana no vácuo
\mathbf{B}(t)=B_{0}\,\sin\bigl(\omega t-\beta z\bigr)\,\mathbf{j}
que se propaga ao longo de +z. Precisamos encontrar o campo elétrico \mathbf{E}(t) correspondente no regime harmônico, usando a equação de Maxwell–Ampère no vácuo:
\nabla\times\mathbf{B} \;=\;\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.

Passo 2

Sabendo que em uma onda plana eletromagnética em vácuo os campos \mathbf{E}, \mathbf{B} e o vetor de propagação são mutuamente perpendiculares, fazemos a ansatz
\mathbf{E}(t)=E_{0}\,\sin\bigl(\omega t-\beta z\bigr)\,\mathbf{i},
pois \mathbf{E} deve ficar em \mathbf{i} (perpendicular a \mathbf{j} e \mathbf{k}).

Passo 3

Calculamos o rotacional de \mathbf{B}. Como \mathbf{B}=B_{0}\sin(\omega t-\beta z)\,\mathbf{j}, seu único termo não nulo em \nabla\times\mathbf{B} é a componente x:
(\nabla\times\mathbf{B})_{x} =\frac{\partial B_{z}}{\partial y}-\frac{\partial B_{y}}{\partial z} =-\frac{\partial}{\partial z}\bigl[B_{0}\sin(\omega t-\beta z)\bigr] =\beta\,B_{0}\cos(\omega t-\beta z).
Logo
\nabla\times\mathbf{B} =\beta\,B_{0}\cos(\omega t-\beta z)\,\mathbf{i}.

Passo 4

Agora calculamos a derivada temporal de \mathbf{E}:
\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} =E_{0}\,\omega\cos(\omega t-\beta z)\,\mathbf{i}.

Passo 5

Substituindo na lei de Maxwell–Ampère,
\nabla\times\mathbf{B} =\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \quad\Longrightarrow\quad \beta\,B_{0}\cos(\omega t-\beta z) =\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,E_{0}\,\omega\cos(\omega t-\beta z).
Como \cos(\omega t-\beta z)\neq0 em geral, obtemos
E_{0} =\frac{\beta\,B_{0}}{\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\omega}.

Passo 6

Portanto o campo elétrico vale
\mathbf{E}(t) =\frac{\beta\,B_{0}}{\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\omega} \;\sin\bigl(\omega t-\beta z\bigr)\,\mathbf{i}.

Resposta

\mathbf{E}(t) =\biggl(\frac{\beta\,B_{0}}{\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\omega}\biggr) \sin\bigl(\omega t-\beta z\bigr)\,\mathbf{i}.

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