Encontre a solução geral do problema de valor inicial dado
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução geral de uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares, solução homogênea e particular, além de aplicar as condições iniciais para encontrar nossa solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Para resolver isso, encontramos as raízes da equação característica. A equação característica é:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são $ r = -1 $ e $ r = -2 $.
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como $ f(t) = 1 $ para $ 0 \leq t < 10 $, vamos procurar uma solução constante $ y_p $ tal que:
Então, a solução geral para $ 0 \leq t < 10 $ é:
Passo 5
Aplicamos as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $ para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, para $ t = 0 $:
Agora, derivamos $ y(t) $:
Aplicando $ t = 0 $:
Agora, temos um sistema de equações:
Resolvendo, somamos as duas equações:
E então:
Passo 6
Assim, a solução para $ 0 \leq t < 10 $ é:
Resposta
A solução geral do problema de valor inicial é: