Encontre a solução geral do problema de valor inicial dado

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a solução geral de uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é:
c y'' + 3 y' + 2 y = f(t), y(0) = 0, y'(0) = 0 f(t) = ll 1, & 0 <= t < 10 0, & t >= 10
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares, solução homogênea e particular, além de aplicar as condições iniciais para encontrar nossa solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
y'' + 3 y' + 2 y = 0
Para resolver isso, encontramos as raízes da equação característica. A equação característica é:
r^2 + 3 r + 2 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
r = -3 pm raiz9 - 82 = -3 pm 12
Então, as raízes são $ r = -1 $ e $ r = -2 $.

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 e^-t + C2 e^-2t
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como $ f(t) = 1 $ para $ 0 \leq t < 10 $, vamos procurar uma solução constante $ y_p $ tal que:
f(t) = 1
Então, a solução geral para $ 0 \leq t < 10 $ é:
0 <= t < 10

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $ para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, para $ t = 0 $:
y(0) = 0
Agora, derivamos $ y(t) $:
y'(0) = 0
Aplicando $ t = 0 $:
C1
Agora, temos um sistema de equações:
C2
Resolvendo, somamos as duas equações:
t = 0
E então:
0 = C1 + C2 + 12 Rightarrow C1 + C2 = -12

Passo 6

Assim, a solução para $ 0 \leq t < 10 $ é:
0 <= t < 10

Resposta

A solução geral do problema de valor inicial é:
y(t) = - e^-t + 12 e^-2t + 12, & 0 <= t < 10 (a solução para t >= 10 deve ser determinada considerando f(t) = 0) çã

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