Em cada caso, determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se a série
converge ou diverge. Aqui, vamos usar conceitos de Séries Numéricas e aplicar o Teste de Comparação para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série conforme
cresce. Olhando para
, percebemos que tanto o numerador quanto o denominador têm exponenciais. Porém, o denominador
cresce mais rápido que o numerador
porque a base 4 é maior que a base 2.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão para entender melhor. Podemos reescrever o termo da série da seguinte forma:
Quando
é grande,
tende a zero, então o termo fica aproximadamente
.
Passo 4
Agora, vamos comparar nossa série com a série geométrica
. Sabemos que uma série geométrica
converge se
. No nosso caso,
, que satisfaz a condição de convergência.
Passo 5
Para formalizar, usamos o Teste de Comparação. Como
para todo
e a série de comparação
converge, então nossa série original também converge por comparação.
Resposta
A série
converge.