Em cada caso, determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty 2^n5+4^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se a série sumn=1^infty 2^n5+4^n converge ou diverge. Aqui, vamos usar conceitos de Séries Numéricas e aplicar o Teste de Comparação para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série conforme n cresce. Olhando para 2^n5+4^n, percebemos que tanto o numerador quanto o denominador têm exponenciais. Porém, o denominador 4^n cresce mais rápido que o numerador 2^n porque a base 4 é maior que a base 2.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão para entender melhor. Podemos reescrever o termo da série da seguinte forma:
2^n5+4^n = 2^n4^n(54^n + 1) = (24)^n54^n + 1 = (12)^n54^n + 1
Quando n é grande, 54^n tende a zero, então o termo fica aproximadamente (12)^n.

Passo 4

Agora, vamos comparar nossa série com a série geométrica sumn=1^infty (12)^n. Sabemos que uma série geométrica sumn=1^infty ar^n converge se |r| < 1. No nosso caso, r = 12, que satisfaz a condição de convergência.

Passo 5

Para formalizar, usamos o Teste de Comparação. Como 2^n5+4^n <= (12)^n para todo n >= 1 e a série de comparação sum (12)^n converge, então nossa série original também converge por comparação.

Resposta

A série sumn=1^infty 2^n5+4^n converge.

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