Em cada caso, determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty 1n^2+3 n+2

Passo 1

Então, a gente tem para resolver a série sumn=1^infty 1n^2+3n+2. O conteúdo aqui envolve séries infinitas e os critérios para determinar se elas convergem ou divergem. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre limites e comparações com séries conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração n^2 + 3n + 2. Isso pode ser fatorado para facilitar a análise:
n^2 + 3n + 2 = (n + 1)(n + 2)
Então, a série fica:
sumn=1^infty 1(n + 1)(n + 2)

Passo 3

Agora, vamos usar a técnica de frações parciais para simplificar a expressão. Queremos escrever 1(n + 1)(n + 2) como An + 1 + Bn + 2. Encontrando A e B:
1 = A(n + 2) + B(n + 1)
Para n = -1:
1 = A(1) + B(0) Rightarrow A = 1
Para n = -2:
1 = A(0) + B(-1) Rightarrow B = -1
Então,
1(n + 1)(n + 2) = 1n + 1 - 1n + 2

Passo 4

Agora, reescrevemos a série original usando essa decomposição:
sumn=1^infty ( 1n + 1 - 1n + 2 )
Isso é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam.

Passo 5

Vamos escrever os primeiros termos para ver o que acontece:
( 12 - 13 ) + ( 13 - 14 ) + ( 14 - 15 ) + dots
Percebe-se que -13 cancela com +13, -14 com +14, e assim por diante.

Passo 6

No final, sobra apenas o primeiro termo positivo e o limite do último termo negativo. Matematicamente:
limn to infty ( 12 - 1n + 2 ) = 12 - 0 = 12

Resposta

A série sumn=1^infty 1n^2+3n+2 converge e seu valor é 12.

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