Em cada caso, determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Então, a gente tem para resolver a série
. O conteúdo aqui envolve séries infinitas e os critérios para determinar se elas convergem ou divergem. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre limites e comparações com séries conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração
. Isso pode ser fatorado para facilitar a análise:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos usar a técnica de frações parciais para simplificar a expressão. Queremos escrever
como
. Encontrando A e B:
Para
:
Para
:
Então,
Passo 4
Agora, reescrevemos a série original usando essa decomposição:
Isso é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam.
Passo 5
Vamos escrever os primeiros termos para ver o que acontece:
Percebe-se que
cancela com
,
com
, e assim por diante.
Passo 6
No final, sobra apenas o primeiro termo positivo e o limite do último termo negativo. Matematicamente:
Resposta
A série
converge e seu valor é
.