Em cada caso, determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente o Teste da Comparação. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma série converger ou diverger. Uma série converge se a soma dos seus termos tende a um valor finito quando o número de termos aumenta infinitamente. Caso contrário, ela diverge.
Passo 3
Agora, olhemos para a estrutura da nossa série:
. Vamos simplificar isso para facilitar a comparação. Note que
cresce muito rápido conforme
aumenta, então
é aproximadamente igual a
para valores grandes de
.
Passo 4
Assim, podemos aproximar nosso termo geral por
. Isso nos leva a considerar a série
, que é uma série geométrica com razão
.
Passo 5
Uma série geométrica
converge se o valor absoluto da razão
for menor que 1, ou seja,
. No nosso caso,
, que é menor que 1, então a série geométrica
converge.
Passo 6
Como nosso termo original
é menor que
para todo
, podemos usar o Teste da Comparação. Se uma série maior converge, a menor também converge.
Passo 7
Portanto, aplicando o Teste da Comparação, já que
converge e
, concluímos que a série original
também converge.
Resposta
A série
converge.