Em cada caso, determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty 11+6^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty 11+6^n converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especificamente o Teste da Comparação. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série converger ou diverger. Uma série converge se a soma dos seus termos tende a um valor finito quando o número de termos aumenta infinitamente. Caso contrário, ela diverge.

Passo 3

Agora, olhemos para a estrutura da nossa série: 11+6^n. Vamos simplificar isso para facilitar a comparação. Note que 6^n cresce muito rápido conforme n aumenta, então 1 + 6^n é aproximadamente igual a 6^n para valores grandes de n.

Passo 4

Assim, podemos aproximar nosso termo geral por 16^n. Isso nos leva a considerar a série sumn=1^infty 16^n, que é uma série geométrica com razão r = 16.

Passo 5

Uma série geométrica sumn=1^infty ar^n converge se o valor absoluto da razão r for menor que 1, ou seja, |r| < 1. No nosso caso, r = 16, que é menor que 1, então a série geométrica sumn=1^infty 16^n converge.

Passo 6

Como nosso termo original 11+6^n é menor que 16^n para todo n >= 1, podemos usar o Teste da Comparação. Se uma série maior converge, a menor também converge.

Passo 7

Portanto, aplicando o Teste da Comparação, já que sumn=1^infty 16^n converge e 11+6^n <= 16^n, concluímos que a série original sumn=1^infty 11+6^n também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 11+6^n converge.

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