Em cada caso, determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty(3 n+84 n+6)^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty(3n+84n+6)^n converge ou diverge. Isso envolve conceitos de séries infinitas na matemática, especialmente sobre como analisar se a soma de termos infinitos chega a um valor finito (converge) ou não (diverge). Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Raiz, que é uma técnica útil para esse tipo de série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série: (3n+84n+6)^n. Quando n fica muito grande, os termos com n na expressão dominam os constantes. Então, podemos simplificar aproximando:
3n + 84n + 6 approx 3n4n = 34
Isso significa que, para valores grandes de n, a expressão dentro da série se aproxima de (34)^n.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Raiz. Esse teste diz que para uma série sum an, calculamos:
L = limn to infty raiz[n]|an|
Se L < 1, a série converge; se L > 1, ela diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, an = (3n+84n+6)^n. Vamos calcular:
L = limn to infty raiz[n](3n+84n+6)^n = limn to infty 3n+84n+6

Passo 4

Simplificando o limite:
limn to infty 3n+84n+6 = limn to infty 3 + 8n4 + 6n = 3 + 04 + 0 = 34
Então, L = 34.

Passo 5

Como L = 34 < 1, de acordo com o Teste da Raiz, a série sumn=1^infty(3n+84n+6)^n converge.

Resposta

A série sumn=1^infty(3n+84n+6)^n converge.

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