Em cada caso, determine se a série converge ou diverge.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série
converge ou diverge. Isso envolve conceitos de séries infinitas na matemática, especialmente sobre como analisar se a soma de termos infinitos chega a um valor finito (converge) ou não (diverge). Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Raiz, que é uma técnica útil para esse tipo de série.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série:
. Quando
fica muito grande, os termos com
na expressão dominam os constantes. Então, podemos simplificar aproximando:
Isso significa que, para valores grandes de
, a expressão dentro da série se aproxima de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Raiz. Esse teste diz que para uma série
, calculamos:
Se
, a série converge; se
, ela diverge; e se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
. Vamos calcular:
Passo 4
Simplificando o limite:
Então,
.
Passo 5
Como
, de acordo com o Teste da Raiz, a série
converge.
Resposta
A série
converge.