Em cada caso, determine tanto para
quanto para
se a funçio é par, impar, ou nem par nem impar. Em seguida, encontre as funçies cumpustas
egof.
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é, para cada par de funções
e
, descobrir se elas são pares, ímpares ou nem umas nem outras. Depois disso, vamos compor essas funções, ou seja, criar
e
. Para isso, vamos precisar entender o que são funções pares e ímpares, e como compor funções. Vamos nessa!
Passo 2
Parte (a):
,
Primeiro, vamos ver se a função
é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Uma função é par se
, isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo Y. Vamos testar:
Como
,
é uma função par.
Agora, vamos analisar
.
Vamos testar se é par:
Isso não é igual a
, então não é par.
Vamos testar se é ímpar:
Como
,
não é ímpar.
Então,
é nem par nem ímpar.
Passo 3
Agora vamos compor as funções
e
.
Composição
:
Isso significa que vamos substituir
dentro de
:
Vamos expandir isso:
Então:
Composição
:
Agora vamos substituir
dentro de
:
Então:
Passo 4
Parte (b):
,
Vamos começar verificando se
é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Primeiro, calculamos
:
Agora, verificamos
:
Como
, isso significa que
é uma função ímpar.
Agora, vamos ver sobre
.
Testando se é par:
Isso não é igual a
, então não é par.
Testando se é ímpar:
Comparando com
, não são iguais, então
não é ímpar.
Portanto,
é nem par nem ímpar.
Passo 5
Agora, vamos compor as funções
e
.
Composição
:
Substituímos
dentro de
:
Simplificando a segunda parte:
Então:
Para somar essas frações, encontramos um denominador comum:
Expandindo os quadrados:
Então:
Composição
:
Agora substituímos
dentro de
:
Simplificando:
Para simplificar ainda mais, multiplicamos numerador e denominador por
:
Observando o denominador:
Então:
Resposta
Parte (a):
-
é par. -
é nem par nem ímpar. -
-
Parte (b):
-
é ímpar. -
é nem par nem ímpar. -
-