Em cada caso, determine tanto para f(x) quanto para g(x) se a funçio é par, impar, ou nem par nem impar. Em seguida, encontre as funçies cumpustas f circ g egof.
(a) f(x)=x^2, g(x)=2 x+1
(b) f(x)=x+1x, g(z)=x+1x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é, para cada par de funções f(x) e g(x) , descobrir se elas são pares, ímpares ou nem umas nem outras. Depois disso, vamos compor essas funções, ou seja, criar f circ g e g circ f . Para isso, vamos precisar entender o que são funções pares e ímpares, e como compor funções. Vamos nessa!

Passo 2

Parte (a): f(x) = x^2 , g(x) = 2x + 1
Primeiro, vamos ver se a função f(x) = x^2 é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Uma função é par se f(-x) = f(x) , isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo Y. Vamos testar:
f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)
Como f(-x) = f(x) , f(x) é uma função par.
Agora, vamos analisar g(x) = 2x + 1 .
Vamos testar se é par:
g(-x) = 2(-x) + 1 = -2x + 1
Isso não é igual a g(x) = 2x + 1 , então não é par.
Vamos testar se é ímpar:
g(-x) = -2x + 1
-g(x) = -(2x + 1) = -2x - 1
Como g(-x) neq -g(x) , g(x) não é ímpar.
Então, g(x) = 2x + 1 é nem par nem ímpar.

Passo 3

Agora vamos compor as funções f circ g e g circ f .
Composição f circ g :
Isso significa que vamos substituir g(x) dentro de f(x) :
f(g(x)) = f(2x + 1) = (2x + 1)^2
Vamos expandir isso:
(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1
Então:
f circ g = 4x^2 + 4x + 1
Composição g circ f :
Agora vamos substituir f(x) dentro de g(x) :
g(f(x)) = g(x^2) = 2(x^2) + 1 = 2x^2 + 1
Então:
g circ f = 2x^2 + 1

Passo 4

Parte (b): f(x) = x + 1x , g(x) = x + 1x + 2
Vamos começar verificando se f(x) é par, ímpar ou nenhuma das duas.
Primeiro, calculamos f(-x) :
f(-x) = -x + 1-x = -x - 1x
Agora, verificamos -f(x) :
-f(x) = -(x + 1x) = -x - 1x
Como f(-x) = -f(x) , isso significa que f(x) é uma função ímpar.
Agora, vamos ver sobre g(x) = x + 1x + 2 .
Testando se é par:
g(-x) = -x + 1-x + 2
Isso não é igual a g(x) = x + 1x + 2 , então não é par.
Testando se é ímpar:
-g(x) = -x + 1x + 2 = -(x + 1)x + 2 = -x - 1x + 2
Comparando com g(-x) = -x + 1-x + 2 , não são iguais, então g(x) não é ímpar.
Portanto, g(x) = x + 1x + 2 é nem par nem ímpar.

Passo 5

Agora, vamos compor as funções f circ g e g circ f .
Composição f circ g :
Substituímos g(x) dentro de f(x) :
f(g(x)) = f(x + 1x + 2) = x + 1x + 2 + 1x + 1x + 2
Simplificando a segunda parte:
1x + 1x + 2 = x + 2x + 1
Então:
f circ g = x + 1x + 2 + x + 2x + 1
Para somar essas frações, encontramos um denominador comum:
= (x + 1)^2 + (x + 2)^2(x + 1)(x + 2)
Expandindo os quadrados:
= x^2 + 2x + 1 + x^2 + 4x + 4(x + 1)(x + 2)
= 2x^2 + 6x + 5(x + 1)(x + 2)
Então:
f circ g = 2x^2 + 6x + 5(x + 1)(x + 2)
Composição g circ f :
Agora substituímos f(x) dentro de g(x) :
g(f(x)) = g(x + 1x) = (x + 1x) + 1(x + 1x) + 2
Simplificando:
= x + 1x + 1x + 1x + 2
Para simplificar ainda mais, multiplicamos numerador e denominador por x :
= x(x) + 1 + xx(x) + 1 + 2x = x^2 + x + 1x^2 + 2x + 1
Observando o denominador:
x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2
Então:
g circ f = x^2 + x + 1(x + 1)^2

Resposta

Parte (a):
  • f(x) = x^2 é par.
  • g(x) = 2x + 1 é nem par nem ímpar.
  • f circ g = 4x^2 + 4x + 1
  • g circ f = 2x^2 + 1
Parte (b):
  • f(x) = x + 1x é ímpar.
  • g(x) = x + 1x + 2 é nem par nem ímpar.
  • f circ g = 2x^2 + 6x + 5(x + 1)(x + 2)
  • g circ f = x^2 + x + 1(x + 1)^2

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