(2 pontus) Resolva a inequaçio |r-2|3 x-2<1. Apresente o resultado usando a notaçio de intervalos.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional com valor absoluto
lvert x-2rvert3x-2<1
O conteúdo principal aqui é resolver inequações envolvendo frações e valores absolutos. Para isso, vamos:
  1. Determinar o domínio da expressão.
  2. Analisar separadamente os casos em que o denominador é positivo ou negativo.
  3. Tratar o valor absoluto em cada subcaso.

Passo 2

Encontramos o domínio exigindo 3x-2neq0, pois não podemos dividir por zero.
3x-2neq0 Longrightarrow xneq23

Passo 3

Dividimos em dois casos conforme o sinal de 3x-2.
Caso A: 3x-2>0, isto é, x>tfrac23.
A inequação fica
lvert x-2rvert < 3x-2
Agora tratamos o valor absoluto separando em x>=2 e x<2.

Passo 4

Em x>=2 temos lvert x-2rvert=x-2, então
x-2<3x-2 Longrightarrow x<3x Longrightarrow 0<2x Longrightarrow x>0
Como já estamos em x>=2, isso vale para todo x>=2.
Em tfrac23<x<2 temos lvert x-2rvert=2-x, então
2-x<3x-2 Longrightarrow 4<4x Longrightarrow x>1
A interseção com tfrac23<x<2 é 1<x<2.
Assim, do Caso A ( x>tfrac23) obtemos solução
(1,2),cup,[2,infty)=(1,infty)

Passo 5

Caso B: 3x-2<0, isto é, x<tfrac23.
Ao multiplicar ambos os lados de
lvert x-2rvert3x-2<1
por 3x-2 (negativo), invertemos o sinal da inequação:
lvert x-2rvert > 3x-2
Mas para x<tfrac23 temos 3x-2<0 e lvert x-2rvert>=0, logo sempre
lvert x-2rvert>3x-2.
Portanto, todo x<tfrac23 satisfaz a inequação.

Passo 6

Juntando as soluções dos dois casos, excluindo x=tfrac23, obtemos
(-infty,tfrac23);cup;(1,infty)

Resposta

(-infty,tfrac23);cup;(1,infty)

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