Use o Lema Fundamental e mostre que a função z=f(x, y) é diferenciável no domínio indicado.
Estude a diferenciabilidade da função z=f(x, y), no ponto P0 indicado:
z=x exp (-y) ; P0=(1,0)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x,y)=x,e^-y
é diferenciável no ponto P0=(1,0). Vamos usar o resultado de que se as derivadas parciais de f existem num vizinhança de P0 e são contínuas em P0, então f é diferenciável em P0.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais de f:
fx(x,y)=partialpartial xl(x,e^-yr)=e^-y,
fy(x,y)=partialpartial yl(x,e^-yr) =xcdotl(-e^-yr)=-x,e^-y

Passo 3

Observe que e^-y e -x,e^-y são compostas e produtos de funções exponencial e polinomiais, todas contínuas em R^2. Logo, fx e fy são contínuas em qualquer ponto, em particular em P0=(1,0).

Passo 4

Pelo Lema Fundamental (teorema de existência de diferencial via derivadas parciais contínuas), concluímos que f é diferenciável em P0.

Resposta

A função f(x,y)=x,e^-y é diferenciável em P0=(1,0).

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