Em cada caso, determine f(t) usando convolução e usando frações parciais:
L(f)(s)=F(s)=1s(s+2).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função f(t) cuja transformada de Laplace é
F(s)=1s(s+2),
usando dois métodos: (i) frações parciais e (ii) teorema da convolução. Vamos precisar também da transformada inversa básica
L^-1tfrac1s=1 e L^-1tfrac1s+2=e^-2t, e do fato de que para funções causais Lf1*f2=F1cdot F2.

Passo 2

Decompondo em frações parciais, escrevemos
Multiplicando por
Comparando coeficientes:
logo . Assim

Passo 3

Agora aplicamos a transformada de Laplace inversa termo a termo:
L^-1F(s) =12,L^-11s -12,L^-11s+2 =12l(1-e^-2tr)

Passo 4

Pela abordagem de convolução, note que
F(s)=1s;cdot;1s+2
Chamando F1(s)=1/s e F2(s)=1/(s+2), temos
f1(t)=1, f2(t)=e^-2t,
ambas para t>=0. Pelo teorema da convolução,
f(t)=(f1*f2)(t)=integral0^tf1(tau),f2(t-tau),dtau =integral0^te^-2(t-tau),dtau

Passo 5

Calculemos a integral:
integral0^te^-2(t-tau),dtau =e^-2tintegral0^te^2tau,dtau =e^-2tl[e^2tau2r]0^t =e^-2tcdote^2t-12 =1-e^-2t2
Isso coincide com o resultado obtido por frações parciais.

Resposta

f(t)=12l(1-e^-2tr), t>=0

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