Considere uma pá quadrada de um ventilador com lados de comprimento 2 e com o canto inferior esquerdo colocado na origem do plano x y. Se a densidade da pá for rho(x, y)=1+x / 10, é mais difícil girar a pá em torno do eixo x ou do eixo y ?

Passo 1

O enunciado dá uma pá quadrada de lado 2 no primeiro quadrante, com canto em (0,0) e densidade rho(x,y)=1+tfracx10. Queremos comparar o momento de inércia em torno do eixo x,
Ix=integral duplaR y^2,rho(x,y),dA,
com o momento de inércia em torno do eixo y,
Iy=integral duplaR x^2,rho(x,y),dA
O domínio de integração é R=(x,y)mid0<= x<=2,;0<= y<=2.

Passo 2

Calcular Ix.
Ix=integralx=0^2integraly=0^2y^2l(1+tfracx10r),dy,dx
Primeiro a integral em y:
integral0^2y^2,dy=y^33|0^2=83
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Ix=83integral0^2l(1+tfracx10r)dx =83l[;2+tfrac110cdot2^22r] =83l(2+tfrac210r) =83cdot2210 =8815approx5,87

Passo 3

Calcular Iy.
Iy=integralx=0^2integraly=0^2x^2l(1+tfracx10r),dy,dx
A integral em y é integral0^2dy=2, então
Iy=2integral0^2x^2l(1+tfracx10r)dx =2l[integral0^2x^2dx+tfrac110integral0^2x^3dxr] =2l[tfrac83+tfrac110cdot4r] =2l(tfrac83+tfrac25r) =2cdot4615 =9215approx6,13

Passo 4

Comparando, Iyapprox6,13 é maior que Ixapprox5,87. Como o momento de inércia maior exige mais torque para girar, conclui-se que é mais difícil girar a pá em torno do eixo y.

Resposta

É mais difícil girar em torno do eixo y, pois Iy>Ix.

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