Resolva os seguintes problemas de valor inicial
y^prime prime+2 y^prime+4 y=f(t), y(0)=0, y^prime(0)=0, f(t)=lct, & 0 <= t<10 0, & 10 <= t

Passo 1

O enunciado pede a solução da EDO
com condições iniciais
O método será resolver em dois trechos: em ) usando soma da solução homogênea e de uma particular, e em (quando ) usando apenas a solução homogênea ajustada para continuar e em .

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da equação homogênea
y''+2y'+4y=0
O polinômio característico é
r^2+2r+4=0Longrightarrow r=-1pm iraiz3
Logo
yh(t)=e^-tl(C1cos(raiz3,t)+C2sin(raiz3,t)r)

Passo 3

Em 0<= t<10 temos f(t)=t. Buscamos uma solução particular da forma
yp(t)=at+b
Então yp'=a, yp''=0, e substituindo em y''+2y'+4y=t
0+2a+4(at+b)=t ;Longrightarrow; 4a,t+(2a+4b)=t
Igualando coeficientes de t e constantes obtém-se
4a=1Rightarrow a=tfrac14, 2a+4b=0Rightarrow b=-tfrac18
Portanto
yp(t)=tfrac14,t-tfrac18

Passo 4

A solução em 0<= t<10 é
y1(t)=yh(t)+yp(t) =e^-tl(C1cos(raiz3,t)+C2sin(raiz3,t)r) +tfrac14t-tfrac18
Usando y1(0)=0 e y1'(0)=0 resolvemos para C1,C2. Em t=0 temos
y1(0)=C1-tfrac18=0Longrightarrow C1=tfrac18,
e calculando y1'(t) (derivada do termo homogêneo mais 1/4) e impondo y1'(0)=0 chega-se a
C2=-18raiz3
Logo fica
y1(t) =18,e^-tl(cos(raiz3,t)-tfrac1raiz3sin(raiz3,t)r) +tfrac14t-tfrac18,
y1'(t) =-tfrac14,e^-tl(cos(raiz3,t)+tfrac1raiz3sin(raiz3,t)r) +tfrac14

Passo 5

Para “colar” nos t>=10 precisamos de
y1(10) =18e^-10l(cos(10raiz3)-tfrac1raiz3sin(10raiz3)r) +104-18,
y1'(10) =-tfrac14,e^-10l(cos(10raiz3)+tfrac1raiz3sin(10raiz3)r) +tfrac14

Passo 6

Em t>=10 temos f(t)=0, logo só a solução homogênea vale. Definindo tau=t-10, a solução é
y2(tau)=e^-taul(Acos(raiz3,tau)+Bsin(raiz3,tau)r),
com condições em tau=0:
A=y1(10), y2'(0)=-A+raiz3,B=y1'(10) ;Longrightarrow; B=y1'(10)+y1(10)raiz3
Voltando a t, para t>=10:
y2(t) =e^-(t-10)l( y1(10)cosl(raiz3,(t-10)r) +y1'(10)+y1(10)raiz3, sinl(raiz3,(t-10)r) r)

Resposta

Para 0<= t<10:
y(t) =18e^-tl(cos(raiz3,t)-tfrac1raiz3sin(raiz3,t)r) +t4-18
Para t>=10:
y(t) =e^-(t-10)l( y1(10)cos!l(raiz3,(t-10)r) +y1'(10)+y1(10)raiz3, sin!l(raiz3,(t-10)r) r),
onde
y1(10) =18e^-10l(cos(10raiz3)-tfrac1raiz3sin(10raiz3)r) +104-18,
y1'(10) =-tfrac14,e^-10l(cos(10raiz3)+tfrac1raiz3sin(10raiz3)r) +tfrac14

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