Calcule a integral de linha
integralC x y d s
onde C: x=t, y=t^2, 0 <= t <= 2.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de uma função escalar ao longo de uma curva C dada por
integralC x,y,ds,
onde a parametrização de C é
x(t)=t, y(t)=t^2, 0<= t<=2
O conteúdo aqui é integral de linha de primeira espécie, em que usamos
ds=raizl(x'(t)r)^2+l(y'(t)r)^2,dt

Passo 2

Calculamos as derivadas da parametrização:
x'(t)=1, y'(t)=2t
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ds=raiz(1)^2+(2t)^2,dt=raiz1+4t^2,dt

Passo 3

Substituindo x(t), y(t) e ds na integral de linha, obtemos
integralC x,y,ds =integral0^2 l(tcdot t^2r)raiz1+4t^2,dt =integral0^2 t^3raiz1+4t^2,dt

Passo 4

Para resolver
integral0^2 t^3raiz1+4t^2,dt,
fazemos a troca de variável
u=1+4t^2 Longrightarrow du=8t,dt Longrightarrow t^3,dt =t^2,(t,dt) =u-14,du8 =u-132,du

Passo 5

A integral passa a ser
integralu=1^u=17 u-132,u^1/2,du =132integral1^17l(u^3/2-u^1/2r),du
Calculando a antiderivada:
integral u^3/2,du=25u^5/2, integral u^1/2,du=23u^3/2,
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integral1^17l(u^3/2-u^1/2r),du =[25u^5/2-23u^3/2]1^17

Passo 6

Avalia em u=17 e em u=1:
(25,17^5/2-23,17^3/2) -(25cdot1-23cdot1) =2517^5/2-2317^3/2+415
Multiplicando por tfrac132 e simplificando em termos de raiz17, obtemos
integralCx,y,ds =391raiz17+1120

Resposta

boxed391raiz17+1120

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