Mostre que R^3 pode ser escrito como uma soma direta dos subespaços
U=(x, 0, z) mid x, z in R, V=(0, y,-y) mid y in R
Encontre uma base para U, V e para U oplus V.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que R^3 se decompõe como soma direta dos subespaços
U=(x,0,z)mid x,zinR, V=(0,y,-y)mid yinR
O conteúdo é soma direta de subespaços: precisamos (i) exibir bases de U e V, (ii) mostrar que U+V=R^3 e (iii) que Ucap V=0. Por fim, a união das bases dá uma base de Uoplus V.

Passo 2

Para achar uma base de U, note que todo vetor de U é
(x,0,z)=x,(1,0,0)+z,(0,0,1)
Como (1,0,0) e (0,0,1) são LI e geram U, uma base de U é
BU=(1,0,0),,(0,0,1)
Para V, todo vetor é
(0,y,-y)=y,(0,1,-1)
Como (0,1,-1) é não nulo e gera V, uma base de V é
BV=(0,1,-1)

Passo 3

Mostramos que U+V=R^3. Dado (a,b,c)inR^3, escolhemos
u=(a,0,c+b)in U, v=(0,b,-b)in V
Então
u+v=(a,0,c+b)+(0,b,-b)=(a,b,c),
logo todo vetor de R^3 está em U+V.

Passo 4

Mostramos que Ucap V=0. Se
win Ucap V,
então w=(x,0,z) e w=(0,y,-y). Comparando coordenadas vem x=0, y=0 e z=-y=0. Logo w=0.

Passo 5

Como U+V=R^3 e Ucap V=0, segue R^3=Uoplus V. Uma base de Uoplus V é a união das bases:
BUoplus V=BUcup BV=(1,0,0),,(0,0,1),,(0,1,-1)

Resposta

Base de U: (1,0,0),,(0,0,1)\nBase de V: (0,1,-1)\nBase de Uoplus V: (1,0,0),,(0,0,1),,(0,1,-1)

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