Mostre que
pode ser escrito como uma soma direta dos subespaços
Encontre uma base para
e para
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que
se decompõe como soma direta dos subespaços
O conteúdo é soma direta de subespaços: precisamos (i) exibir bases de
e
, (ii) mostrar que
e (iii) que
. Por fim, a união das bases dá uma base de
.
Passo 2
Para achar uma base de
, note que todo vetor de
é
Como
e
são LI e geram
, uma base de
é
Para
, todo vetor é
Como
é não nulo e gera
, uma base de
é
Passo 3
Mostramos que
. Dado
, escolhemos
Então
logo todo vetor de
está em
.
Passo 4
Mostramos que
. Se
então
e
. Comparando coordenadas vem
,
e
. Logo
.
Passo 5
Como
e
, segue
. Uma base de
é a união das bases:
Resposta
Base de
:
\nBase de
:
\nBase de
: