Determine em cada caso o determinante da matriz indicada
A=[ccc 2 & 1 & 3 0 & 1 & -1 3 & 4 & 2 ] ; B=[cccc 1 & 2 & 0 & 4 0 & 3 & 1 & -1 2 & 0 & 0 & 3 1 & 5 & 0 & 0 ] ; C=[cccc 3 & 0 & 1 & 2 2 & 4 & 0 & 1 1 & -1 & 3 & 0 0 & 2 & 1 & 3 ] D=[llll 5 & 0 & 0 & 1 0 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 7 & 0 1 & 0 & 0 & 2 ] ; E=[ccccc 1 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 & 0 & 1 ] ; F=[cccc cos theta & 0 & 0 & 0 2 & sin theta & 0 & 0 1 & 0 & cos theta & sin theta 2 & 0 & -sin theta & cos theta ]

Passo 1

O enunciado pede para calcular os determinantes de seis matrizes A,B,C,D,E,F. Vamos usar expansão por cofatores em linhas ou colunas que contenham vários zeros, além da propriedade de matrizes em bloco triangular para facilitar o cálculo.

Passo 2

Para A=2&1&30&1&-13&4&2 expandimos pela segunda linha (0,1,-1). Temos
det(A)=0cdot(dots)+1cdot(-1)^2+2det2&33&2 +(-1)cdot(-1)^2+3det2&13&4
Calculando os menores:
det2&33&2=2cdot2-3cdot3=-5, det2&13&4=2cdot4-1cdot3=5
Logo
det(A)=1cdot(-5)+(-1)cdot(-1)cdot5=-5+5=0

Passo 3

Para
B= 1&2&0&4 0&3&1&-1 2&0&0&3 1&5&0&0
expandimos pela terceira linha (2,0,0,3). Denotando Cij=(-1)^i+j vezes o menor,
det(B)=2cdot C31+3cdot C34
Para C31 removemos linha 3 coluna 1 e calculamos
M31=2&0&43&1&-15&0&0, det(M31)=-20,
de onde 2cdot(+1)cdot(-20)=-40.
Para C34 removemos linha 3 coluna 4 e obtemos
M34=1&2&00&3&11&5&0, det(M34)=-3,
com sinal (-1)^3+4=-1, então 3cdot(-1)cdot(-3)=9. No total
det(B)=-40+9=-31

Passo 4

Para
C= 3&0&1&2 2&4&0&1 1&-1&3&0 0&2&1&3
expandimos pela primeira linha (3,0,1,2):
det(C)=3det(M11)+1cdot(+1)det(M13)+2cdot(-1)det(M14)
Os menores são
M11=4&0&1-1&3&02&1&3, det(M11)=29,
M13=2&4&11&-1&00&2&3, det(M13)=-16,
M14=2&4&01&-1&30&2&1, det(M14)=-18
Logo
det(C)=3cdot29 +1cdot(-16)+2cdot(-1)cdot(-18)=87-16+36=107

Passo 5

Para
D= 5&0&0&1 0&3&0&0 0&0&7&0 1&0&0&2
expandimos pela segunda linha (0,3,0,0). Só sobra
det(D)=3cdot(+1)det5&0&10&7&01&0&2
Calculando o menor por expansão na primeira linha:
det5&0&10&7&01&0&2 =5cdot(7cdot2-0)-1cdot(0cdot0-7cdot1)=5cdot14-(-7)=70+7=77
Assim det(D)=3cdot77=231. (Revisão: havia computado 63 em vez de 77; o correto é 231.)

Passo 6

Para
E= 1&0&0&0&1 0&1&0&0&0 0&0&1&0&0 0&-1&0&1&0 -1&0&0&0&1
expandimos pela terceira coluna, em que só aparece o 1 na posição ( 3,3). Logo
det(E)=1cdot(+1)det(M33),
onde M33 é a submatriz 4times 4 sem a linha 3 e coluna 3:
M33= 1&0&0&1 0&1&0&0 0&-1&1&0 -1&0&0&1
Nesta, expandimos pela segunda linha (0,1,0,0) e obtemos como menor a 3times 3 smash1&0&10&1&0-1&0&1 de determinante 2. Logo det(E)=2.

Passo 7

Para
F= costheta&0&0&0 2&sintheta&0&0 1&0&costheta&sintheta 2&0&-sintheta&costheta
reconhecemos um bloco triangular com bloco superior esquerdo
A=costheta&02&sintheta e bloco inferior direito
D=costheta&sintheta-sintheta&costheta, e zeros no bloco superior direito. Assim
det(F)=det(A),det(D) =(costhetasintheta),( cos^2theta+ sin^2theta) =sinthetacostheta

Resposta

det(A)=0 det(B)=-31 det(C)=107 det(D)=231 det(E)=2 det(F)=sinthetacostheta

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