Em cada caso determine o vértice, o foco e uma equação para a diretriz. Esboce o gráfico.
y=4 x^2-16 x+15.

Passo 1

O enunciado dá a parábola
y = 4x^2 - 16x + 15
e pede o vértice, o foco, a diretriz e um esboço do gráfico. O conteúdo aqui é a análise de uma parábola vertical: vamos completar o quadrado para achar a forma vértice e depois usar as fórmulas de foco e diretriz.

Passo 2

Começamos completando o quadrado:
y = 4x^2 - 16x + 15 = 4l(x^2 - 4xr) + 15 = 4l[(x - 2)^2 - 4r] + 15 = 4(x - 2)^2 - 16 + 15 = 4(x - 2)^2 - 1
Logo,
y + 1 = 4(x - 2)^2

Passo 3

Para parábola vertical usamos a forma
(x - h)^2 = 4p,(y - k)
Da equação y + 1 = 4(x - 2)^2 tiramos
(x - 2)^2 = tfrac14,(y + 1),
logo 4p = tfrac14 e
p = tfrac116

Passo 4

Da forma vértice y - k = a(x - h)^2 já vimos que (h,k)=(2,-1).
  • Vértice: (2,-1).
  • Foco: fica a distância p acima do vértice, em
(h,;k+p) = l(2,;-1 + tfrac116r) = l(2,-tfrac1516r)
  • Diretriz: é a reta horizontal
y = k - p = -1 - tfrac116 = -tfrac1716

Passo 5

Para esboçar: marcamos o vértice em (2,-1), desenhamos a reta diretriz y=-tfrac1716 abaixo dele e o foco em (2,-tfrac1516) logo acima do vértice. A parábola abre para cima, com eixo de simetria x=2.

Resposta

Vértice: (2,-1)
Foco: (2,-tfrac1516)
Diretriz: y = -tfrac1716

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