Determine o volume de um cilindro de revolução circunscrito a um prisma triangular de 12 cm e altura, sendo a base do prisma um triângulo isósceles cujo ângulo do vértice mede 30^circ, sendo 5 cm a medida da base do triângulo.

Passo 1

O enunciado nos dá um prisma triangular de altura 12 cm, cuja base é um triângulo isósceles com base medindo 5 cm e ângulo de vértice 30^circ. Pede-se o volume de um cilindro de revolução circunscrito a esse prisma. Para isso, vamos usar que o cilindro circunscrito tem raio igual ao raio da circunferência circunscrita à base triangular, e altura igual a 12 cm.

Passo 2

Em qualquer triângulo, se um lado a é oposto ao ângulo A, o raio R da circunferência circunscrita satisfaz
R = a2sin(A)
Aqui, tomamos a = 5 cm (a base do triângulo) e A = 30^circ. Logo,
R = 52sin(30^circ) = 52 cdot tfrac12 = 5 cm

Passo 3

Com o raio do cilindro R = 5 cm e a altura h = 12 cm, usamos a fórmula do volume do cilindro:
V = pi R^2 h
Substituindo,
V = pi cdot 5^2 cdot 12 = 300pi

Resposta

O volume do cilindro é 300pi cm ^3.

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