Mostre que as diagonais de um paralelepípedo retângulo são congruentes.

Passo 1

O enunciado quer que a gente prove que, num paralelepípedo retângulo cujas arestas têm comprimentos a, b e c mutuamente perpendiculares, todas as suas diagonais internas têm o mesmo comprimento. O conteúdo aqui é geometria analítica em 3D ou, equivalentemente, aplicação do Teorema de Pitágoras em espaço. Vamos usar um sistema de coordenadas para facilitar o cálculo das distâncias.

Passo 2

Colocamos um vértice do paralelepípedo na origem O=(0,0,0) e alinhamos as três arestas que saem de O aos eixos x, y e z, de modo que os outros três vértices adjacentes sejam
A = (a,0,0), B = (0,b,0), C = (0,0,c)
O vértice oposto a O (onde se cruzam as três arestas de comprimentos a, b, c) fica em
D = (a,b,c)

Passo 3

A diagonal principal é o segmento OD. Pelo Teorema de Pitágoras em 3D (ou fórmula da distância entre dois pontos no espaço), seu comprimento é
OD = raiz(a-0)^2 + (b-0)^2 + (c-0)^2 = raiza^2 + b^2 + c^2

Passo 4

Qualquer outra diagonal interna vai de um vértice a outro vértice oposto. Em termos de coordenadas, trocaríamos sinais ou permutaríamos as arestas, mas sempre somamos os mesmos quadrados a^2, b^2 e c^2. Logo, toda diagonal mede
raiza^2 + b^2 + c^2,
o que prova que todas são congruentes.

Resposta

Todas as diagonais de um paralelepípedo retângulo têm comprimento raiza^2 + b^2 + c^2 e, portanto, são congruentes.

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