Mostre que as diagonais de um paralelepípedo retângulo são congruentes.
Passo 1
O enunciado quer que a gente prove que, num paralelepípedo retângulo cujas arestas têm comprimentos
,
e
mutuamente perpendiculares, todas as suas diagonais internas têm o mesmo comprimento. O conteúdo aqui é geometria analítica em 3D ou, equivalentemente, aplicação do Teorema de Pitágoras em espaço. Vamos usar um sistema de coordenadas para facilitar o cálculo das distâncias.
Passo 2
Colocamos um vértice do paralelepípedo na origem
e alinhamos as três arestas que saem de
aos eixos
,
e
, de modo que os outros três vértices adjacentes sejam
O vértice oposto a
(onde se cruzam as três arestas de comprimentos
,
,
) fica em
Passo 3
A diagonal principal é o segmento
. Pelo Teorema de Pitágoras em 3D (ou fórmula da distância entre dois pontos no espaço), seu comprimento é
Passo 4
Qualquer outra diagonal interna vai de um vértice a outro vértice oposto. Em termos de coordenadas, trocaríamos sinais ou permutaríamos as arestas, mas sempre somamos os mesmos quadrados
,
e
. Logo, toda diagonal mede
o que prova que todas são congruentes.
Resposta
Todas as diagonais de um paralelepípedo retângulo têm comprimento
e, portanto, são congruentes.