Determine a equação da elipse que satisfaz as condições dadas. Esboce o gráfico.
eixo maior mede 10 e focos ( pm 4,0).

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse cujo eixo maior mede 10 e cujos focos estão em (pm4,0). Como os focos têm coordenada y=0 e são simétricos em relação à origem, sabemos que a elipse está centrada em (0,0) e tem o eixo maior na direção horizontal. Para resolver, vamos usar a forma canônica da elipse centrada na origem:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1,
onde 2a é o comprimento do eixo maior e c é a distância do centro a cada foco, com a relação
c^2 = a^2 - b^2

Passo 2

Como o eixo maior mede 10, temos
2a = 10 Longrightarrow a = 5
Os focos estão em (pm4,0), logo
c = 4

Passo 3

Usando a relação c^2 = a^2 - b^2, calculamos b:
b^2 = a^2 - c^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9,
portanto
b = 3

Passo 4

Substituindo a^2 = 25 e b^2 = 9 na forma canônica, obtemos
x^225 + y^29 = 1

Passo 5

Para esboçar o gráfico:
– O centro é (0,0).
– Os vértices do eixo maior são (pm a,0) = (pm5,0).
– Os “co-vértices” do eixo menor são (0,pm b) = (0,pm3).
– Os focos estão em (pm4,0).
Desenhe os pontos mencionados, trace a elipse de modo suave passando pelos vértices horizontais e verticais.

Resposta

A equação da elipse é
x^225 + y^29 = 1
O esboço consiste numa elipse centrada em (0,0), com vértices em (pm5,0), co-vértices em (0,pm3) e focos em (pm4,0).

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