Em cada caso determine os vértices A1 e A2 e os focos, a equação da reta diretriz e esboce o gráfico das elipses.
4 x^2+y^2=1

Passo 1

O enunciado pede para, na elipse
4x^2+y^2=1,
determinarmos os vértices A1 e A2, os focos, as retas diretrizes e fazermos o esboço do gráfico. O conteúdo é seção cônicas – elipse – e vamos começar passando para a forma canônica e identificando os semi-eixos.

Passo 2

Dividindo a equação por 1, obtemos a forma
x^2tfrac14 ;+;y^21=1,
logo os semi-eixos são
a=tfrac12 e b=1
Como b>a, o eixo maior é vertical (eixo Oy).

Passo 3

Os vértices ficam no centro (0,0) mais ou menos b em y. Assim
A1=(0,1), A2=(0,-1)

Passo 4

Para os focos calculamos
c^2=b^2-a^2=1-tfrac14=tfrac34, c=tfracraiz32
Como o eixo maior é vertical, os focos são
F1=l(0,tfracraiz32r), F2=l(0,-tfracraiz32r)

Passo 5

A excentricidade é
e=cb=tfracraiz321=raiz32
As retas diretrizes são paralelas ao eixo menor ( Ox) e têm equação
y=pmb^2c =pm1tfracraiz32 =pm2raiz3 ou racionalizando y=pm2raiz33

Passo 6

No esboço marcamos o centro em (0,0), os vértices em (0,pm1) e os co-vértices em (pmtfrac12,0), unindo-os com uma curva oval alongada verticalmente. As diretrizes são as linhas horizontais y=pm2raiz3/3.

Resposta

A1=(0,1)
A2=(0,-1)
Focos: F1=(0,tfracraiz32), F2=(0,-tfracraiz32)
Diretrizes: y=pmtfrac2raiz3 (ou y=pmtfrac2raiz33)
Esboço: elipse com eixo maior vertical de comprimento 2 e eixo menor horizontal de comprimento 1.

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