Escreva em coordenadas polares as equações dadas tomando como polo a origem e como eixo polar o eixo O x.
(x^2+y^2)^3 / 2=y^2

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a curva
(x^2+y^2)^3/2=y^2
em coordenadas polares (r,theta), tomando o polo na origem e o eixo polar no eixo O x.

Passo 2

Em coordenadas polares, aplicamos as definições
x = rcos(theta), y = rsin(theta),
onde r>=0 e theta é o ângulo em relação ao eixo Ox.

Passo 3

Substituindo na equação dada, obtemos
(x^2+y^2)^3/2 = (r^2)^3/2 = r^3,
e
y^2 = (rsin(theta))^2 = r^2sin^2(theta)

Passo 4

Comparando os dois lados, vem
r^3 = r^2sin^2(theta)
Isso implica r=0 ou, para rneq0, dividindo ambos os lados por r^2,
r = sin^2(theta)

Passo 5

Portanto, a forma em coordenadas polares é dada por
r = sin^2(theta)
(além da solução trivial r=0).

Resposta

r = sin^2(theta)

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