Em cada caso, determine os vértices, os focos, e a medidas dos eixos maior e menor da elipse.
E: x^2+9 y^2=9

Passo 1

O enunciado dá a elipse E de equação
x^2 + 9y^2 = 9
e pede os vértices, os focos e as medidas dos eixos maior e menor.
Conteúdo: elipse centrada na origem em forma canônica tfracx^2a^2+tfracy^2b^2=1, identificação de a, b e c.

Passo 2

Para passar à forma canônica, dividimos ambos os lados por 9:
x^29 + 9y^29 = 99 Longrightarrow x^29 + y^21 = 1

Passo 3

Comparando com
x^2a^2 + y^2b^2 = 1,
vemos que
a^2 = 9, b^2 = 1 ;Longrightarrow; a = 3, b = 1,
e como a>b, o eixo maior é horizontal.

Passo 4

Os focos estão a uma distância c do centro, com
c^2 = a^2 - b^2 = 9 - 1 = 8 ;Longrightarrow; c = raiz8 = 2raiz2

Passo 5

Os vértices (interseções com o eixo maior e menor) são
  • no eixo maior (horizontal): (pm a,0) = (pm 3,0),
  • no eixo menor (vertical): (0,pm b) = (0,pm 1).

Passo 6

Os focos ficam no eixo maior, em
(pm c,0) = l(pm 2raiz2,0r)

Passo 7

Os comprimentos dos eixos são
  • eixo maior: 2a = 2cdot 3 = 6,
  • eixo menor: 2b = 2cdot 1 = 2.

Resposta

Vértices: (3,0), (-3,0), (0,1), (0,-1)
Focos: (2raiz2,0), (-2raiz2,0)
Comprimento do eixo maior: 6
Comprimento do eixo menor: 2

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