Determine, em cada caso, os vértices, os focos, as extremidades do eixo imaginário e equações das assíntotas da hipérbole:
y^2-x^2=16

Passo 1

O enunciado pede para analisar a hipérbole dada por
y^2-x^2=16
e determinar: centro, vértices, focos, extremidades do eixo imaginário (conjugado) e equações das assíntotas. O conteúdo é seção cônica (hipérbole) e vamos usar sua forma canônica.

Passo 2

Colocamos a hipérbole na forma padrão dividindo ambos os lados por 16:
y^216-x^216=1
Dessa forma identificamos
a^2=16, b^2=16,
logo
a=4, b=4

Passo 3

A hipérbole está centrada na origem (0,0) e o eixo transverso é vertical (porque y^2 vem positivo). Os vértices ficam a uma distância a ao longo desse eixo, ou seja:
(0,pm a)=(0,pm4)

Passo 4

Os focos da hipérbole estão também ao longo do eixo transverso, a uma distância c do centro, onde
c^2=a^2+b^2=16+16=32 Longrightarrow c=4raiz2
Logo os focos são
(0,pm4raiz2)

Passo 5

As extremidades do eixo imaginário (conjugado) estão a uma distância b do centro sobre o eixo horizontal, ou seja:
(pm b,0)=(pm4,0)

Passo 6

As assíntotas de uma hipérbole na forma tfracy^2a^2-tfracx^2b^2=1 são
y=pmab,x
Aqui a/b=4/4=1, portanto as assíntotas são
y=x e y=-x

Resposta

Centro: (0,0)
Vértices: (0,4) e (0,-4)
Focos: (0,4raiz2) e (0,-4raiz2)
Extremidades do eixo imaginário: (4,0) e (-4,0)
Assíntotas: y=x e y=-x

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