Dadas equações paramétricas, obtenha uma equação geral do plano:
lx=1+lambda-mu y=2 lambda+mu z=3

Passo 1

O enunciado nos dá as equações paramétricas de um plano em
e pede que obtenhamos sua equação geral do tipo (ax+by+cz+d=0]. O conteúdo é geometria analítica de planos, e vamos precisar identificar um ponto no plano, dois vetores diretores e então achar um vetor normal por produto vetorial.

Passo 2

Para achar um ponto no plano, basta escolher valores convenientes para lambda e mu. Tomando lambda=0 e mu=0, obtemos
P0 = (x,y,z) = (1+0-0,;2cdot0+0,;3) = (1,0,3)

Passo 3

Os vetores diretores do plano surgem ao derivar o vetor posição em relação a lambda e a mu. Assim,
v = partialpartial lambda(1+lambda-mu,;2lambda+mu,;3) = (1,2,0),
w = partialpartial mu(1+lambda-mu,;2lambda+mu,;3) = (-1,1,0)

Passo 4

O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial vtimes w. Calculando:
n = (1,2,0)times(-1,1,0) = l(2cdot0 - 0cdot1,;0cdot(-1)-1cdot0,;1cdot1 - 2cdot(-1)r) = (0,0,3)
Podemos usar (0,0,1) como direção normal simplificada.

Passo 5

A equação geral de um plano com normal n=(0,0,1) que passa por P0=(1,0,3) é
ncdotl((x,y,z)-P0r)=0 Longrightarrow 0,(x-1)+0,(y-0)+1,(z-3)=0
ou seja
z-3=0

Resposta

A equação geral do plano é
z - 3 = 0

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