Dadas equações paramétricas, obtenha uma equação geral do plano:
lllx & = & -2+lambda y & = & lambda z & = & lambda+2 mu

Passo 1

O enunciado nos dá a representação paramétrica do plano:
x = -2 + lambda, y = lambda, z = lambda + 2mu
Para obter a forma geral do plano precisamos de um ponto que pertença ao plano e de um vetor normal. Podemos usar dois vetores diretores obtidos das dependências em lambda e mu e depois calcular o produto vetorial.

Passo 2

Escolhemos lambda=0 e mu=0 para achar um ponto P0 no plano:
P0 = (x,y,z)|lambda=0,mu=0 = (-2,0,0)
Os vetores diretores são dados pelas derivadas em relação a lambda e mu:
v1 = partialpartial lambda(x,y,z) = (1,1,1), v2 = partialpartial mu(x,y,z) = (0,0,2)

Passo 3

O produto vetorial v1times v2 fornece um vetor normal n ao plano:
n = v1times v2 = i & j & k 1 & 1 & 1 0 & 0 & 2 = (2,-2,0)
Podemos simplificar dividindo por 2:
n = (1,-1,0)

Passo 4

A equação geral de um plano com normal n=(a,b,c) passando por P0=(x0,y0,z0) é
a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0
Aqui a=1, b=-1, c=0 e P0=(-2,0,0), logo
1,(x+2) + (-1),(y-0) + 0,(z-0) = 0 Longrightarrow x - y + 2 = 0

Resposta

A equação geral do plano é
x - y + 2 = 0

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