Determine os valores de a para os quais o sistema linear
l x+y-z=1 -x+y-2 z=2 -x-y+a^2 z=a
a) não possui solução;
b) possui infinitas soluções e determine todas elas;
c) possui uma solução única e encontre ela.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que você mandou. A gente vai trabalhar com Álgebra Linear, especificamente analisando sistemas lineares para descobrir quando ele não tem solução, quando tem infinitas soluções e quando tem uma única solução. Para isso, vamos usar o método de escalonamento de matrizes e calcular o determinante do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de matriz aumentada:
1 & 1 & -1 & | & 1 -1 & 1 & -2 & | & 2 -1 & -1 & a^2 & | & a
Isso nos ajuda a visualizar melhor o que está acontecendo e a aplicar o método de eliminação para simplificar o sistema.

Passo 3

Vamos começar a escalonar essa matriz. Nosso objetivo é transformar a matriz em uma forma mais simples, onde possamos facilmente identificar as soluções.
Primeiro, mantemos a primeira linha como está:
1 & 1 & -1 & | & 1 -1 & 1 & -2 & | & 2 -1 & -1 & a^2 & | & a
Agora, vamos somar a primeira linha à segunda e à terceira para eliminar o termo de x nessas linhas.
Linha 2 + Linha 1:
-1 + 1 = 0, 1 + 1 = 2, -2 + (-1) = -3, 2 + 1 = 3
Linha 3 + Linha 1:
-1 + 1 = 0, -1 + 1 = 0, a^2 + (-1) = a^2 - 1, a + 1 = a + 1
A matriz fica assim:
1 & 1 & -1 & | & 1 0 & 2 & -3 & | & 3 0 & 0 & a^2 - 1 & | & a + 1

Passo 4

Agora, olhamos para a terceira linha da matriz escalonada:
0x + 0y + (a^2 - 1)z = a + 1
Para que o sistema tenha solução, precisamos que essa equação seja válida. Existem dois cenários:
  1. Se a^2 - 1 neq 0 , ou seja, a neq pm1 , então podemos resolver para z .
  2. Se a^2 - 1 = 0 , ou seja, a = 1 ou a = -1 , a equação se torna 0 = a + 1 . Dependendo do valor de a , isso pode ser consistente ou não.

Passo 5

Vamos analisar cada caso:
Caso 1: a neq 1 e a neq -1
Aqui, a^2 - 1 neq 0 , então podemos resolver para z :
z = a + 1a^2 - 1
Depois, substituímos z na segunda linha para encontrar y :
2y - 3z = 3 Rightarrow y = 3 + 3z2
E por fim, substituímos y e z na primeira linha para encontrar x :
x + y - z = 1 Rightarrow x = 1 - y + z
Portanto, para a neq pm1 , o sistema possui uma solução única.
Caso 2: a = 1
Substituindo na terceira linha:
0 = 1 + 1 Rightarrow 0 = 2
Isso é uma contradição, ou seja, não existe solução.
Caso 3: a = -1
Substituindo na terceira linha:
0 = -1 + 1 Rightarrow 0 = 0
Isso é verdadeiro, então temos uma equação dependente. Vamos verificar as outras linhas:
Segunda linha:
2y - 3z = 3
Primeira linha:
x + y - z = 1
Aqui, temos duas equações com três variáveis, o que significa que o sistema tem infinitas soluções para a = -1 .

Passo 6

Resumindo:
a) Não possui solução quando o sistema é inconsistente, ou seja, quando a = 1 .
b) Possui infinitas soluções quando a = -1 . Nesse caso, podemos expressar y e x em termos de z :
z = t (t in R)
y = 3 + 3t2
x = 1 - y + t = 1 - 3 + 3t2 + t = -1 + t2
Então, as soluções são parametrizadas por t :
x = -1 + t2, y = 3 + 3t2, z = t
c) Possui uma solução única para todos os valores de a diferentes de 1 e -1 . A solução única é dada por:
z = a + 1a^2 - 1
y = 3 + 3z2
x = 1 - y + z

Resposta

a) O sistema não possui solução para a = 1 .
b) O sistema possui infinitas soluções para a = -1 , sendo elas x = -1 + t2 , y = 3 + 3t2 e z = t , onde t é qualquer número real.
c) O sistema possui uma solução única para todo a diferente de 1 e -1 .

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