Em cada caso, encontre condições sobre os números a e b para que o sistema dado não tenha solução, tenha uma única solução, ou tenha infinitas soluções. Resolva o sistema quando ele for consistente.
(iii) lx+2 y+z=-1 3 x+7 y+6 z=-1 2 x+4 y+(a^2+1) z=b-1

Passo 1

Temos o sistema linear
x + 2y + z = -1, 3x + 7y + 6z = -1, 2x + 4y + l(a^2+1r)z = b - 1
Queremos condições em a,b para o sistema não ter solução, ter solução única ou infinitas soluções. Para isso, vamos usar eliminação de Gauss: expressar x pela primeira equação e eliminar x das duas últimas, obtendo relações simples entre y e z.

Passo 2

Da primeira equação isolamos
x = -1 - 2y - z
e substituímos em cada uma das outras duas:
– Na segunda:
3(-1 -2y -z) + 7y +6z = -1 ;Longrightarrow; -3 -6y -3z +7y +6z = -1 ;Longrightarrow; y + 3z = 2
– Na terceira:
2(-1 -2y -z) +4y + (a^2+1)z = b-1 ;Longrightarrow; -2 -4y -2z +4y +(a^2+1)z = b-1 ;Longrightarrow; (a^2-1),z = b+1
Ficamos com o sistema reduzido
y + 3z = 2, (a^2-1),z = b+1

Passo 3

Note que o coeficiente de z em (a^2-1)z=b+1 é zero exatamente quando a^2-1=0, isto é, a=pm1.
  • Se aneqpm1, então a^2-1neq0 e o sistema reduzido tem solução única em z e y, logo o sistema original também tem única solução.
  • Se a=pm1, então (a^2-1)=0 e a segunda equação vira 0cdot z = b+1:
    • Se b+1neq0, fica 0=b+1 impossível to sem solução.
    • Se b+1=0 (isto é, b=-1), fica 0=0 e sobra apenas y+3z=2, dando infinitas soluções.

Passo 4

Caso aneqpm1 (solução única), da segunda equação reduzida
z = b+1a^2-1,
da primeira reduzida
y = 2 - 3z = 2 - 3,b+1a^2-1,
e de x=-1-2y-z segue
x = -1 ;-;2l(2 - 3b+1a^2-1r);-;b+1a^2-1 = -5a^2 +5b +10a^2-1

Resposta

Para o sistema dado:
(a) Não há solução se and somente se
a = pm1 e b neq -1
(b) Há solução única se e somente se
a neq pm1,
neste caso
x = -5a^2 +5b +10a^2-1, y = 2 - 3,b+1a^2-1, z = b+1a^2-1
(c) Há infinitas soluções se e somente se
a = pm1 e b = -1,
com a família
z = t, y = 2 - 3t, x = -1 - 2(2 - 3t) - t = -5 +5t,
onde tinR.

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