Dizemos que duas matrizes quadradas de mesmo tamanho A e B comutam se A B=B A. Encontre todas as matrizes de tamanho 2 times 2 que comutam com:
(i) [ll3 & 0 0 & 3]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as matrizes 2times2 que comutam com
A = 3 & 0 0 & 3
O conteúdo aqui é o conceito de comutação de matrizes: queremos B tais que AB=BA. Vamos usar a observação de que uma matriz escalar kI comuta com qualquer matriz.

Passo 2

Considere uma matriz arbitrária
B = a & b c & d
Como
A = 3I2,
temos
AB = 3I2 ,B = 3B
e
BA = B,3I2 = 3B

Passo 3

Da igualdade das duas expressões fica claro que
AB = 3B = BA
para qualquer escolha dos escalares a,b,c,d.

Resposta

Todas as matrizes 2times2 reais, i.e.
a & b c & d com a,b,c,dinR,
comutam com 3&00&3.

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