Determine os autovalores e uma base para os auto espaços correspondentes (autovetores associados). Verifique se o operador é diagonalizável e, caso seja, determine sua representação diagonal, ou seja, a matriz diagonal que representa o operador e a base de autovetores correspondentes (a matriz ).
Passo 1
O enunciado define o operador linear dado por
Pede-se os autovalores, as bases dos respectivos autoespaços, verificar se é diagonalizável e, em caso afirmativo, exibir a matriz diagonal e a matriz cujas colunas são autovetores.
Passo 2
Vamos achar a matriz de na base canônica. Denotando essa matriz, temos
Dos fatores do polinômio característico, os autovalores são lambda1 = 1 (multiplicidade algébrica 1) e lambda2 = 2 (multiplicidade algébrica 2).
Passo 4
Autoespaço para : resolvemos , ou seja
As equações dão e . Tomando , um gerador é
Assim, .
Passo 5
Autoespaço para : resolvemos , ou seja
As duas primeiras linhas impõem ; a terceira dá ; fica livre. Tomando , obtemos o gerador
Logo , de dimensão 1.
Passo 6
Para ser diagonalizável em R^3, a soma das dimensões dos autoespaços deve ser 3. Aqui temos dimensão 1 para lambda=1 e dimensão 1 para lambda=2, totalizando 2<3. Portanto, T não é diagonalizável.
Resposta
Autovalores e autoespaços: lambda1=1, com ker(A-I)=span(-1,1,-8). lambda2=2, com ker(A-2I)=span(0,0,1).
Como a soma das dimensões dos autoespaços é 2<3, T não é diagonalizável; não existe matriz inversível P tal que P^-1AP seja diagonal.