Seja T: R^3 R^3 o operador linear dado por
T(x, y, z)=(x, x+2 y,-3 x+5 y+2 z)
Determine os autovalores e uma base para os auto espaços correspondentes (autovetores associados). Verifique se o operador T é diagonalizável e, caso seja, determine sua representação diagonal, ou seja, a matriz diagonal D que representa o operador T e a base de autovetores correspondentes (a matriz P ).

Passo 1

O enunciado define o operador linear T:R^3toR^3 dado por
T(x,y,z) = (x,;x+2y,;-3x+5y+2z)
Pede-se os autovalores, as bases dos respectivos autoespaços, verificar se T é diagonalizável e, em caso afirmativo, exibir a matriz diagonal D e a matriz P cujas colunas são autovetores.

Passo 2

Vamos achar a matriz de T na base canônica. Denotando A essa matriz, temos
T(e1) = (1,1,-3), T(e2)=(0,2,5), T(e3)=(0,0,2),
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A = 1 & 0 & 0 1 & 2 & 0 -3 & 5 & 2
O polinômio característico é
det(A-lambda I) = det 1-lambda & 0 & 0 1 & 2-lambda & 0 -3 & 5 & 2-lambda = (1-lambda),(2-lambda)^2

Passo 3

Dos fatores do polinômio característico, os autovalores são
lambda1 = 1 (multiplicidade algébrica 1) e lambda2 = 2 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 4

Autoespaço para : resolvemos , ou seja
As equações dão e . Tomando , um gerador é
Assim, .

Passo 5

Autoespaço para : resolvemos , ou seja
As duas primeiras linhas impõem ; a terceira dá ; fica livre. Tomando , obtemos o gerador
Logo , de dimensão 1.

Passo 6

Para ser diagonalizável em R^3, a soma das dimensões dos autoespaços deve ser 3. Aqui temos dimensão 1 para lambda=1 e dimensão 1 para lambda=2, totalizando 2<3. Portanto, T não é diagonalizável.

Resposta

Autovalores e autoespaços:
lambda1=1, com
ker(A-I)=span(-1,1,-8).
lambda2=2, com
ker(A-2I)=span(0,0,1).
Como a soma das dimensões dos autoespaços é 2<3, T não é diagonalizável; não existe matriz inversível P tal que P^-1AP seja diagonal.

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