Em cada caso, encontre um conjunto de geradores de U e decida se U é ou não finitamente gerado.
U=\left\{p(t)=a_{1} t+a_{3} t^{3}+\ldots \ldots \ldots . .+a_{99} t^{99} \in \mathbf{P}_{99}(R)\right\}

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto U de \mathbf{P}_{99}(\mathbb{R}):
U=\left\{p(t)=a_{1} t+a_{3} t^{3}+\cdots+a_{99} t^{99}\in\mathbf{P}_{99}(\mathbb{R})\right\}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Cada polinômio em U tem apenas termos de grau ímpar: os coeficientes de t^{0},t^{2},t^{4},\ldots,t^{98} são todos zero.
  • Os coeficientes a_{1},a_{3},\ldots,a_{99} são números reais livres.
    O que o problema pede:
  • Encontrar um conjunto de geradores de U.
  • Dizer se U é finitamente gerado (isto é, se existe um conjunto finito cujo fecho linear é U).

Passo 2

O que é um conjunto de geradores (explicação didática): um conjunto S de polinômios gera U se todo p\in U pode ser escrito como combinação linear finita dos elementos de S. Em símbolos, \operatorname{span}(S)=U. “Finitamente gerado” significa que existe algum conjunto S com número finito de elementos tal que \operatorname{span}(S)=U.

Passo 3

Escrever um polinômio genérico de U numa forma indexada conveniente. Todo p\in U tem a forma
p(t)=a_{1}t+a_{3}t^{3}+\cdots+a_{99}t^{99}.
É útil reindexar pelos inteiros k=0,1,\ldots,49, escrevendo os expoentes ímpares como 2k+1. Assim qualquer p\in U pode ser escrita como
p(t)=\sum_{k=0}^{49} a_{2k+1}\,t^{2k+1}.
Isto mostra explicitamente que cada p\in U é combinação linear dos monômios t^{1},t^{3},\dots,t^{99}.

Passo 4

Concluir que o conjunto dos monômios ímpares gera U. Defina
S=\{\,t,t^{3},t^{5},\dots,t^{99}\,\}.
Pelo passo anterior, para qualquer p\in U existem escalares a_{2k+1}\in\mathbb{R} tais que
p(t)=\sum_{k=0}^{49} a_{2k+1}\,t^{2k+1},
ou seja, p\in\operatorname{span}(S). Portanto S é um conjunto de geradores de U (isto é, \operatorname{span}(S)=U).

Passo 5

Mostrar que S é linearmente independente (explicação didática sobre independência): suponha que exista uma combinação linear que dê o polinômio zero,
\sum_{k=0}^{49} c_{2k+1}\,t^{2k+1}\equiv 0\quad\text{(polinômio identicamente nulo)}.ô
Um polinômio é identicamente nulo se, e somente se, todos os seus coeficientes frente a cada potência de t são zero. Como os monômios t^{2k+1} são monômios de graus distintos, os coeficientes individuais devem ser nulos:
c_{2k+1}=0\quad\text{para todo }k=0,\ldots,49.
Logo S é linearmente independente.

Passo 6

Concluir que S é base de U. Porque S gera U (Passo 4) e é linearmente independente (Passo 5), S é uma base de U. Assim U é um espaço vetorial de dimensão igual ao número de elementos de S. Contando os elementos de S: os expoentes ímpares de 1 até 99 formam a sequência 1,3,\dots,99, cujo número de termos é
\frac{99-1}{2}+1=50.
Portanto
\dim(U)=50.

Passo 7

Concluir sobre geração finita (explicação didática final): como a base S tem apenas \,50 elementos finitos e gera U, então U é finitamente gerado. Além disso, não é possível gerar U com menos do que \,50 vetores, porque qualquer conjunto gerador contém uma base e toda base de U tem exatamente \dim(U)=50 elementos.

Resposta

Um conjunto de geradores: \{\,t,t^{3},t^{5},\dots,t^{99}\,\}.
U é finitamente gerado: sim; \dim(U)=50.

Exercícios relacionados