Em cada caso, encontre um conjunto de geradores de
e decida se
é ou não finitamente gerado.
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
de
:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Cada polinômio em
tem apenas termos de grau ímpar: os coeficientes de são todos zero. - Os coeficientes
são números reais livres.
O que o problema pede: - Encontrar um conjunto de geradores de
. - Dizer se
é finitamente gerado (isto é, se existe um conjunto finito cujo fecho linear é ).
Passo 2
O que é um conjunto de geradores (explicação didática): um conjunto
de polinômios gera
se todo
pode ser escrito como combinação linear finita dos elementos de
. Em símbolos,
. “Finitamente gerado” significa que existe algum conjunto
com número finito de elementos tal que
.
Passo 3
Escrever um polinômio genérico de
numa forma indexada conveniente. Todo
tem a forma
É útil reindexar pelos inteiros
, escrevendo os expoentes ímpares como
. Assim qualquer
pode ser escrita como
Isto mostra explicitamente que cada
é combinação linear dos monômios
.
Passo 4
Concluir que o conjunto dos monômios ímpares gera
. Defina
Pelo passo anterior, para qualquer
existem escalares
tais que
ou seja,
. Portanto
é um conjunto de geradores de
(isto é,
).
Passo 5
Mostrar que
é linearmente independente (explicação didática sobre independência): suponha que exista uma combinação linear que dê o polinômio zero,
Um polinômio é identicamente nulo se, e somente se, todos os seus coeficientes frente a cada potência de
são zero. Como os monômios
são monômios de graus distintos, os coeficientes individuais devem ser nulos:
Logo
é linearmente independente.
Passo 6
Concluir que
é base de
. Porque
gera
(Passo 4) e é linearmente independente (Passo 5),
é uma base de
. Assim
é um espaço vetorial de dimensão igual ao número de elementos de
. Contando os elementos de
: os expoentes ímpares de
até
formam a sequência
, cujo número de termos é
Portanto
Passo 7
Concluir sobre geração finita (explicação didática final): como a base
tem apenas
elementos finitos e gera
, então
é finitamente gerado. Além disso, não é possível gerar
com menos do que
vetores, porque qualquer conjunto gerador contém uma base e toda base de
tem exatamente
elementos.
Resposta
Um conjunto de geradores:
.
é finitamente gerado: sim;
.