Considere em
os seguintes sub- espaços
,
e
,
,
e
. Encontre um conjunto de geradores de :
Passo 1
O enunciado dá subespaços de
e pede um conjunto de geradores de
. Dados relevantes (copiando do enunciado):
-
-
(isto é, o subespaço gerado por e ).
A pergunta específica: encontrar um conjunto de vetores que gere
.
Passo 2
Entender que tipo de vetores estão em
. Pelo gerador dado, todo vetor em
tem primeira componente
e pode ser escrito como combinação linear de
e
. Logo um vetor arbitrário de
tem a forma
onde
.
Passo 3
Agora exigimos que um vetor
de
pertença também a
. Para isso ele deve satisfazer a equação que define
:
Substituindo
(pois estamos em
), obtemos a condição para
e
:
Passo 4
Resolver
. Podemos expressar
em função de
:
Logo vetores em
são exatamente aqueles da forma
Passo 5
Para evitar frações e dar um gerador com coordenadas inteiras, escolha o parâmetro
(com
). Então
Isso mostra que todo vetor da interseção é múltiplo de
. Assim
é a reta (subespaço unidimensional) gerada por
.
Passo 6
Verificação rápida: aplicar a equação de
em
:
logo
. E
tem primeira componente zero, logo
. Portanto gera a interseção.