Considere em \mathbf{R}^{3} os seguintes sub- espaços W_{1}=\{(x, y, z) ; x-2 y=0\}, W_{2}=\{(x, y, z) ; x+z=0 e x-2 y=0\}, W_{3}=\{(x, y, z) ; x+2 y-3 z=0\}, W_{4}=[(1,0,0),(1,1,1)] e W_{5}=[(0,1,0),(0,0,1)]. Encontre um conjunto de geradores de :
W_{3} \cap W_{5}

Passo 1

O enunciado dá subespaços de \mathbf{R}^{3} e pede um conjunto de geradores de W_{3}\cap W_{5}. Dados relevantes (copiando do enunciado):
  • W_{3}=\{(x,y,z)\in\mathbf{R}^{3}\mid x+2y-3z=0\}.
  • W_{5}=[(0,1,0),(0,0,1)] (isto é, o subespaço gerado por (0,1,0) e (0,0,1)).
A pergunta específica: encontrar um conjunto de vetores que gere W_{3}\cap W_{5}.

Passo 2

Entender que tipo de vetores estão em W_{5}. Pelo gerador dado, todo vetor em W_{5} tem primeira componente x=0 e pode ser escrito como combinação linear de (0,1,0) e (0,0,1). Logo um vetor arbitrário de W_{5} tem a forma
(0,y,z)=y(0,1,0)+z(0,0,1),
onde y,z\in\mathbf{R}.

Passo 3

Agora exigimos que um vetor (0,y,z) de W_{5} pertença também a W_{3}. Para isso ele deve satisfazer a equação que define W_{3}:
x+2y-3z=0.
Substituindo x=0 (pois estamos em W_{5}), obtemos a condição para y e z:
0+2y-3z=0\quad\Longrightarrow\quad 2y-3z=0.

Passo 4

Resolver 2y-3z=0. Podemos expressar y em função de z:
2y=3z\quad\Longrightarrow\quad y=\tfrac{3}{2}z.
Logo vetores em W_{3}\cap W_{5} são exatamente aqueles da forma
(0,y,z)=\bigl(0,\tfrac{3}{2}z,z\bigr)=z\bigl(0,\tfrac{3}{2},1\bigr),\quad z\in\mathbf{R}.

Passo 5

Para evitar frações e dar um gerador com coordenadas inteiras, escolha o parâmetro z=2t (com t\in\mathbf{R}). Então
z\bigl(0,\tfrac{3}{2},1\bigr)=(2t)\bigl(0,\tfrac{3}{2},1\bigr)=t(0,3,2).
Isso mostra que todo vetor da interseção é múltiplo de (0,3,2). Assim W_{3}\cap W_{5} é a reta (subespaço unidimensional) gerada por (0,3,2).

Passo 6

Verificação rápida: aplicar a equação de W_{3} em (0,3,2):
x+2y-3z = 0 + 2\cdot 3 - 3\cdot 2 = 6-6=0,
logo (0,3,2)\in W_{3}. E (0,3,2) tem primeira componente zero, logo (0,3,2)\in W_{5}. Portanto gera a interseção.

Resposta

W_{3}\cap W_{5}=\operatorname{span}\{(0,3,2)\}.

Exercícios relacionados