Em cada caso, encontre as coordenadas do vetor \vec{x}:
-2(1,3)+3 \vec{x}=5(0,-2)+5 \vec{x}.

Passo 1

O enunciado pede para achar o vetor \vec{x}=(x_{1},x_{2}) que satisfaz a equação vetorial
-2\,(1,3) \;+\;3\,\vec{x} \;=\;5\,(0,-2)\;+\;5\,\vec{x}.
O conteúdo é operações com vetores em \mathbb{R}^{2}: multiplicação escalar, soma vetorial e, em seguida, resolver por componentes.

Passo 2

Primeiro, calculamos as multiplicações escalares dos vetores dados:
-2\,(1,3) = (-2,\,-6), \qquad 5\,(0,-2) = (0,\,-10).

Passo 3

Substituindo esses resultados na equação, obtemos
(-2,\,-6) + 3\,(x_{1},x_{2}) \;=\; (0,\,-10) + 5\,(x_{1},x_{2}),
ou seja,
(-2 + 3x_{1},\;-6 + 3x_{2}) \;=\; (5x_{1},\;-10 + 5x_{2}).
Como vetores são iguais se e só se suas componentes forem iguais, montamos o sistema
\begin{cases} -2 + 3x_{1} = 5x_{1},\\\\ -6 + 3x_{2} = -10 + 5x_{2}. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo cada equação:
Da primeira,
-2 + 3x_{1} = 5x_{1} \;\Longrightarrow\; -2 = 2x_{1} \;\Longrightarrow\; x_{1} = -1.
Da segunda,
-6 + 3x_{2} = -10 + 5x_{2} \;\Longrightarrow\; 4 = 2x_{2} \;\Longrightarrow\; x_{2} = 2.

Resposta

\vec{x} = (-1,\,2).

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