Resolva as equações matriciais abaixo:
\left[\begin{array}{ll}2 & 2 \\\\ 5 & 5\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 7 \\\\ 2 & 7\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de a,b,c,d na equação matricial
\begin{pmatrix}2 & 2 \\[6pt] 5 & 5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 7 \\[4pt] 2 & 7\end{pmatrix}.
O conteúdo utilizado é álgebra de matrizes: multiplicação, adição e igualação de entradas, levando a sistemas lineares em a,c e em b,d.]

Passo 2

Calcule o produto
\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot a + 2\cdot c & 1\cdot b + 2\cdot d \\[6pt] 3\cdot a + 5\cdot c & 3\cdot b + 5\cdot d \end{pmatrix}.]

Passo 3

Some essa matriz a \begin{pmatrix}2&2\\[4pt]5&5\end{pmatrix} e iguale cada entrada à correspondente em \begin{pmatrix}1&7\\[4pt]2&7\end{pmatrix}. Assim obtemos quatro equações escalares:
2 + a + 2c = 1
2 + b + 2d = 7
5 + 3a + 5c = 2
5 + 3b + 5d = 7]

Passo 4

Agrupe as equações em dois sistemas: um para [a,c) e outro para b,d. Começando por a,c:
\begin{cases} a + 2c = 1 - 2 = -1,\\[4pt] 3a + 5c = 2 - 5 = -3. \end{cases}
Multiplicando a primeira por 3 e subtraindo da segunda:
3a + 6c = -3 \quad\text{e}\quad 3a + 5c = -3 \;\Longrightarrow\; c = 0.
Substituindo em a + 2c = -1\] dá \(a = -1.]

Passo 5

Agora o sistema para b,d\): \[\begin{cases} b + 2d = 7 - 2 = 5,\\[4pt] 3b + 5d = 7 - 5 = 2. \end{cases}
Multiplicando a primeira por 3 e subtraindo da segunda:
3b + 6d = 15 \quad\text{e}\quad 3b + 5d = 2 \;\Longrightarrow\; d = 15 - 2 = 13.
Substituindo em b + 2d = 5\] dá \(b + 26 = 5, logo b = -21.]

Resposta

a = -1,\quad b = -21,\quad c = 0,\quad d = 13.

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