Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada de cada uma das funções seguintes:
h(x)=\int_{0}^{e^{x}} \ln (t) d t

Passo 1

O enunciado pede para usar a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia para encontrar a derivada de
h(x)=\int_{0}^{e^{x}}\ln(t)\,dt.
O que vamos precisar:
  1. A Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo adaptada a limite superior variável.
  2. A regra da cadeia para derivar g(x)=e^{x}.

Passo 2

A Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo diz que, se
H(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt,
então
H'(x)=f(x).
Quando o limite superior é uma função g(x), aplica-se a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\int_{a}^{g(x)}f(t)\,dt = f\bigl(g(x)\bigr)\,\bigl(g'(x)\bigr).

Passo 3

No nosso caso temos f(t)=\ln(t) e g(x)=e^{x}. Logo,
h'(x) = \ln\bigl(g(x)\bigr)\,\bigl(g'(x)\bigr) = \ln\bigl(e^{x}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}(e^{x}).

Passo 4

Calculando cada parte:
\ln\bigl(e^{x}\bigr)=x, \qquad \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}.
Portanto,
h'(x)=x\cdot e^{x}.

Resposta

h'(x)=x\,e^{x}.

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