Em cada caso encontre o polinômio característico, os autovalores e os autovetores correspondentes da matriz dada.
(a) A=[cc1 & 3 -2 & 6]
(b) B=[ccc1 & 2 & 0 -1 & -1 & 1 0 & 1 & 1]
(c) C=[ccc4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 -1 & 0 & 2]

Passo 1

O enunciado pede para cada matriz achar o polinômio característico via det(A-lambda I), depois resolver p(lambda)=0 para obter os autovalores e, em seguida, encontrar vetores não nulos que satisfazem (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Para
A=1 & 3-2 & 6
calculamos
det(A-lambda I) =det1-lambda & 3-2 & 6-lambda =(1-lambda)(6-lambda)-(-2)cdot3 =lambda^2-7lambda+12
Logo
pA(lambda)=lambda^2-7lambda+12=(lambda-3)(lambda-4),
de onde os autovalores são lambda1=3 e lambda2=4.
Para lambda1=3 resolvemos
(A-3I)=-2 & 3-2 & 3,
que dá a equação -2x+3y=0. Tomando x=3 obtemos y=2 e o autovetor
v1=32
Para lambda2=4 resolvemos
(A-4I)=-3 & 3-2 & 2,
que dá -3x+3y=0. Tomando x=1 obtemos y=1 e o autovetor
v2=11

Passo 3

Para
B=1 & 2 & 0-1 & -1 & 10 & 1 & 1
calculamos o determinante
det(B-lambda I) =(1-lambda)det-1-lambda & 11 & 1-lambda -2det-1 & 10 & 1-lambda
O primeiro menor vale
(-1-lambda)(1-lambda)-1=lambda^2-2,
e o segundo vale -1(1-lambda). Então
det(B-lambda I) =(1-lambda)(lambda^2-2)+2(1-lambda) =(1-lambda)lambda^2 =lambda^2(,1-lambda,)
Tomando o polinômio monico,
pB(lambda)=lambda^3-lambda^2=lambda^2(lambda-1),
os autovalores são lambda=0 (multiplicidade algébrica 2) e lambda=1.
Para lambda=1
(B-I)=0 & 2 & 0-1 & -2 & 10 & 1 & 0
impõe y=0 e z=x, de onde o autovetor é
v=101
Para lambda=0
Bv=0
x+2y=0 e y+z=0, logo x=-2y, z=-y, e um autovetor é
v=-21-1

Passo 4

Para
C=4 & 0 & 12 & 3 & 2-1 & 0 & 2
usamos a coluna do meio com zeros:
det(C-lambda I) =(3-lambda)det4-lambda & 1-1 & 2-lambda =(3-lambda)l((4-lambda)(2-lambda)+1r) =(3-lambda)(lambda^2-6lambda+9)
Como lambda^2-6lambda+9=(lambda-3)^2, temos
pC(lambda)=(lambda-3)^3,
então o único autovalor é lambda=3 com multiplicidade algébrica 3.
Para lambda=3
C-3I=1 & 0 & 12 & 0 & 2-1 & 0 & -1
impõe x+z=0, sem restrição em y. Portanto o espaço próprio é gerado por
,(0,1,0)^T e (-1,0,1)^T.

Resposta

(a) pA(lambda)=lambda^2-7lambda+12=(lambda-3)(lambda-4). Autovalores lambda=3,4. Autovetores correspondentes (3,2)^T e (1,1)^T.
(b) pB(lambda)=lambda^2(lambda-1)=lambda^3-lambda^2. Autovalores lambda=0 (mult. alg. 2) e lambda=1. Autovetor para lambda=0: (-2,1,-1)^T, para lambda=1: (1,0,1)^T.
(c) pC(lambda)=(lambda-3)^3. Autovalor lambda=3 (mult. alg. 3). Espaço próprio gerado por (0,1,0)^T e (-1,0,1)^T.

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