Em cada caso encontre o polinômio característico, os autovalores e os autovetores correspondentes da matriz dada.
(a)
(b)
B=[ccc1 & 2 & 0 -1 & -1 & 1 0 & 1 & 1]
(c)
C=[ccc4 & 0 & 1 2 & 3 & 2 -1 & 0 & 2]
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para cada matriz achar o polinômio característico via
det(A-lambda I) , depois resolver
p(lambda)=0 para obter os autovalores e, em seguida, encontrar vetores não nulos que satisfazem
(A-lambda I)v=0 .
Passo 2
Para
calculamos
Logo
de onde os autovalores são
lambda1=3 e
lambda2=4 .
Para
lambda1=3 resolvemos
que dá a equação
-2x+3y=0 . Tomando
x=3 obtemos
y=2 e o autovetor
Para
lambda2=4 resolvemos
que dá
-3x+3y=0 . Tomando
x=1 obtemos
y=1 e o autovetor
Passo 3
Para
calculamos o determinante
O primeiro menor vale
e o segundo vale
-1(1-lambda) . Então
Tomando o polinômio monico,
os autovalores são
lambda=0 (multiplicidade algébrica
2 ) e
lambda=1 .
Para
lambda=1
impõe
y=0 e
z=x , de onde o autovetor é
Para
lambda=0
dá
x+2y=0 e
y+z=0 , logo
x=-2y ,
z=-y , e um autovetor é
Passo 4
Para
usamos a coluna do meio com zeros:
Como
lambda^2-6lambda+9=(lambda-3)^2 , temos
então o único autovalor é
lambda=3 com multiplicidade algébrica
3 .
Para
lambda=3
impõe
x+z=0 , sem restrição em
y . Portanto o espaço próprio é gerado por
,(0,1,0)^T e
(-1,0,1)^T .
Resposta
(a)
pA(lambda)=lambda^2-7lambda+12=(lambda-3)(lambda-4) . Autovalores
lambda=3,4 . Autovetores correspondentes
(3,2)^T e
(1,1)^T .
(b)pB(lambda)=lambda^2(lambda-1)=lambda^3-lambda^2 . Autovalores
lambda=0 (mult. alg.
2 ) e
lambda=1 . Autovetor para
lambda=0 :
(-2,1,-1)^T , para
lambda=1 :
(1,0,1)^T .
(c)pC(lambda)=(lambda-3)^3 . Autovalor
lambda=3 (mult. alg.
3 ). Espaço próprio gerado por
(0,1,0)^T e
(-1,0,1)^T .
(b)
(c)