Seja V o espaço vetorial de todas as matrizes 2 times 2 reais. Determine uma base para o subespaço gerado pelo conjunto S=(ll1 & 0 0 & 0),(ll0 & 1 0 & 0),(ll1 & 1 0 & 0).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V de todas as matrizes 2times 2 reais e o conjunto
M1 = 1 & 0 0 & 0, M2 = 0 & 1 0 & 0, M3 = 1 & 1 0 & 0
Queremos encontrar uma base do subespaço span(S) gerado por S=M1,M2,M3. Para isso vamos verificar se esses vetores (matrizes) são linearmente dependentes e, em caso afirmativo, extrair um subconjunto independente que gere o mesmo espaço.

Passo 2

Para testar dependência linear, consideramos a combinação
alpha M1 + beta M2 + gamma M3 = 0,
isto é,
alpha1 & 0 0 & 0 +beta0 & 1 0 & 0 +gamma1 & 1 0 & 0 =0 & 0 0 & 0
Olhemos às entradas (1,1) e (1,2):
alpha + gamma = 0, beta + gamma = 0

Passo 3

Das equações acima vem alpha=-gamma e beta=-gamma. Substituindo,
alpha M1 + beta M2 + gamma M3 =-gamma M1 -gamma M2 + gamma M3 =gammal(M3 - (M1+M2)r)=0,
logo
M3 = M1 + M2
Isso mostra que M3 é combinação linear de M1 e M2, ou seja, S é linearmente dependente e podemos descartar M3.

Passo 4

Resta verificar que M1,M2 é independente. Se
alpha M1 + beta M2 = 0,
então olhando à entrada (1,1) vem alpha=0 e à entrada (1,2) vem beta=0. Logo são independentes. Como também geram M3 e quaisquer combinações de S, formam base de span(S).

Resposta

Uma base para span(S) é
1 & 0 0 & 0, 0 & 1 0 & 0

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