Seja . Determine uma base para o subespaço gerado por .
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
em e pede uma base para o subespaço gerado por . Uma base é um subconjunto de (ou obtido a partir dele) que gera todo o subespaço e cujos vetores são linearmente independentes. Para montar essa base, vamos checar dependências lineares entre os vetores de .
Passo 2
Colocamos os vetores como colunas de uma matriz e usamos eliminação para achar quais colunas são pivô (ou seja, quais vetores são independentes):
Essa matriz já está em forma escalonada, com pivôs na coluna 1 e na coluna 2. A terceira coluna é (1,1,0) = (1,0,0) + (0,1,0), ou seja, depende das duas primeiras.
Passo 3
Como as colunas 1 e 2 são independentes e geram a coluna 3, um conjunto gerador minimamente independente (base) é formado pelos vetores correspondentes:
(1,0,0),,(0,1,0)
Resposta
Uma base para o subespaço gerado por S é (1,0,0),;(0,1,0).