Seja S=(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0). Determine uma base para o subespaço gerado por S.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S=(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)
em R^3 e pede uma base para o subespaço gerado por S. Uma base é um subconjunto de S (ou obtido a partir dele) que gera todo o subespaço e cujos vetores são linearmente independentes. Para montar essa base, vamos checar dependências lineares entre os vetores de S.

Passo 2

Colocamos os vetores como colunas de uma matriz e usamos eliminação para achar quais colunas são pivô (ou seja, quais vetores são independentes):
A = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0
Essa matriz já está em forma escalonada, com pivôs na coluna 1 e na coluna 2. A terceira coluna é (1,1,0) = (1,0,0) + (0,1,0), ou seja, depende das duas primeiras.

Passo 3

Como as colunas 1 e 2 são independentes e geram a coluna 3, um conjunto gerador minimamente independente (base) é formado pelos vetores correspondentes:
(1,0,0),,(0,1,0)

Resposta

Uma base para o subespaço gerado por S é
(1,0,0),;(0,1,0).

Exercícios relacionados