Seja W=(x, y) in R^2: x-2 y=0. Mostre que W é um subespaço e encontre sua base.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o conjunto
W = (x,y)inR^2 : x - 2y = 0
e queremos mostrar que W é um subespaço vetorial de R^2 e determinar uma base de W. O conteúdo envolve subespaços: verificar que W contém o vetor zero, que é fechado sob soma e multiplicação por escalar, e depois encontrar um vetor gerador.

Passo 2

Verificar que o vetor zero pertence a W. O vetor zero de R^2 é (0,0). Como
0 - 2cdot 0 = 0,
concluímos que (0,0)in W.

Passo 3

Mostrar que W é fechado sob soma. Tomemos (x1,y1)in W e (x2,y2)in W, isto é,
x1 - 2y1 = 0 e x2 - 2y2 = 0
Então, para a soma,
(x1+x2) - 2(y1+y2) = (x1 - 2y1) + (x2 - 2y2) = 0 + 0 = 0,
logo (x1+x2,;y1+y2)in W.

Passo 4

Mostrar que W é fechado sob multiplicação por escalar. Seja (x,y)in W e lambdainR. Como x - 2y = 0, temos
(lambda x) - 2(lambda y) = lambda,(x - 2y) = lambdacdot 0 = 0,
portanto (lambda x,;lambda y)in W.

Passo 5

Concluir que W é subespaço. Vimos que W contém o zero, é fechado sob soma e sob produto por escalar. Logo W é um subespaço de R^2.

Passo 6

Encontrar uma descrição paramétrica de W. A condição x - 2y=0 x=2y. Logo todo vetor em W é da forma
(x,y) = (2y,y) = y,(2,1),
com yinR. Assim
W = ,y,(2,1) : yinR, = span(2,1)

Resposta

Uma base de W é (2,1).

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