Seja
. Mostre que
é um subespaço e encontre sua base.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos o conjunto
e queremos mostrar que
é um subespaço vetorial de
e determinar uma base de
. O conteúdo envolve subespaços: verificar que
contém o vetor zero, que é fechado sob soma e multiplicação por escalar, e depois encontrar um vetor gerador.
Passo 2
Verificar que o vetor zero pertence a
. O vetor zero de
é
. Como
concluímos que
.
Passo 3
Mostrar que
é fechado sob soma. Tomemos
e
, isto é,
Então, para a soma,
logo
.
Passo 4
Mostrar que
é fechado sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Como
, temos
portanto
.
Passo 5
Concluir que
é subespaço. Vimos que
contém o zero, é fechado sob soma e sob produto por escalar. Logo
é um subespaço de
.
Passo 6
Encontrar uma descrição paramétrica de
. A condição
dá
. Logo todo vetor em
é da forma
com
. Assim
Resposta
Uma base de
é
.